17. (10 分)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$为边$BC$上的中线，$DE \perp AB$，垂足为$E$.
(1) 求证：$\triangle BDE \backsim \triangle CAD$；
(2) 若$AB = 13$，$BC = 10$，求线段$DE$的长.
(1) 求证：$\triangle BDE \backsim \triangle CAD$；
(2) 若$AB = 13$，$BC = 10$，求线段$DE$的长.
答案：证明： (1)∵AB=AC，AD是边BC的中线
∴∠B=∠C，AD⊥BC
∵DE⊥AB
∴∠ADC=∠BED=90°
又∵∠B=∠C
∴△BDE∽△CAD
(2)∵AB=AC，AD是边BC的中线
∴AC=13，BD=CD=5
∵△BDE∽△CAD
∴$\frac {BE}{CD}=\frac {BD}{AC}$
∴$\frac {BE}{5}=\frac {5}{13}$
∴$BE =\frac {25}{13}$
∴$DE=\sqrt{BD² - BE²}=\frac {60}{13}$
∴∠B=∠C，AD⊥BC
∵DE⊥AB
∴∠ADC=∠BED=90°
又∵∠B=∠C
∴△BDE∽△CAD
(2)∵AB=AC，AD是边BC的中线
∴AC=13，BD=CD=5
∵△BDE∽△CAD
∴$\frac {BE}{CD}=\frac {BD}{AC}$
∴$\frac {BE}{5}=\frac {5}{13}$
∴$BE =\frac {25}{13}$
∴$DE=\sqrt{BD² - BE²}=\frac {60}{13}$
18. (12 分)将正方形纸片$ABCD$对折，得到折痕$EF$，再沿$CE$折叠，得到折痕$CE$，然后将正方形纸片折叠，使$BC$落在$CE$上，得到折痕$CG$，点$B$翻折至点$H$处. 试说明点$G$为线段$AB$的黄金分割点.
答案：
解：设正方形的边长为2a，易得ED=a，$CE=\sqrt{5}a$
过点H作MN//AD，分别交AB，CD于点M，N
则△CNH∽△CDE
∴$\frac {NH}{ED}=\frac {CH}{CE}$
∵CH= 2a，ED=a，$CE=\sqrt{5}a$
∴$NH=\frac {2\sqrt{5}}{5}a$
∴$MH= 2a-\frac {2\sqrt{5}}{5}a$
由上述可得，∠HMG =∠CNH=∠CHG= 90°
得∠MHG=∠NCH，△HMG∽△CNH
∴△HMG∽△CDE
∴$\frac {HG}{EC}=\frac {MH}{CD}$
则$HG=\frac {\sqrt{5}}{2}(2a-\frac {2\sqrt{5}}{5}a)=(\sqrt{5}-1)a$
∴$BG= HG=\frac {\sqrt{5}-1}{2}AB$
∴点G 为AB的黄金分割点
解：设正方形的边长为2a，易得ED=a，$CE=\sqrt{5}a$
过点H作MN//AD，分别交AB，CD于点M，N
则△CNH∽△CDE
∴$\frac {NH}{ED}=\frac {CH}{CE}$
∵CH= 2a，ED=a，$CE=\sqrt{5}a$
∴$NH=\frac {2\sqrt{5}}{5}a$
∴$MH= 2a-\frac {2\sqrt{5}}{5}a$
由上述可得，∠HMG =∠CNH=∠CHG= 90°
得∠MHG=∠NCH，△HMG∽△CNH
∴△HMG∽△CDE
∴$\frac {HG}{EC}=\frac {MH}{CD}$
则$HG=\frac {\sqrt{5}}{2}(2a-\frac {2\sqrt{5}}{5}a)=(\sqrt{5}-1)a$
∴$BG= HG=\frac {\sqrt{5}-1}{2}AB$
∴点G 为AB的黄金分割点