15. (6 分)计算：cos 60° - sin²45° + $\frac{1}{4}$tan²60° + cos 30° - sin 30°.
答案：解:原式$=\frac{1}{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})²-\frac{1}{4}×(\sqrt{3})²+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$
$ =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$
$ =\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
$ =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$
$ =\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
16. (8 分)如图，某海域直径为 30 n mile 的暗礁区中心有一哨所 A，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向 90 n mile 的 B 处向哨所驶来，哨所及时向轮船发出了危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进了 15 n mile 到达 C 处，此时哨所第二次发出紧急信号.
(1) 若轮船收到第一次信号后，为避免触礁，航向改变角度至少为 α，求 sin α 的值；
(2) 当轮船收到第二次信号时，为避免触礁，轮船航向改变的角度至少应为多少(精确到 0.01°)？
(1) 若轮船收到第一次信号后，为避免触礁，航向改变角度至少为 α，求 sin α 的值；
(2) 当轮船收到第二次信号时，为避免触礁，轮船航向改变的角度至少应为多少(精确到 0.01°)？
答案：16. (1) 暗礁区半径为 $15$ n mile，轮船在 $B$ 处时，$AB=90$ n mile。为避免触礁，轮船需沿切线方向航行，设切点为 $D$，则 $AD=15$ n mile，$\angle ADB=90°$。在 $Rt\triangle ABD$ 中，$\sin\alpha=\frac{AD}{AB}=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}$。
(2) 轮船到达 $C$ 处时，$AC=90 - 15=75$ n mile。设此时切线方向与原航向夹角为 $\beta$，切点为 $E$，则 $AE=15$ n mile，$\angle AEC=90°$。在 $Rt\triangle ACE$ 中，$\sin\beta=\frac{AE}{AC}=\frac{15}{75}=\frac{1}{5}$，$\beta=\arcsin\frac{1}{5}\approx11.54°$。
(2) 轮船到达 $C$ 处时，$AC=90 - 15=75$ n mile。设此时切线方向与原航向夹角为 $\beta$，切点为 $E$，则 $AE=15$ n mile，$\angle AEC=90°$。在 $Rt\triangle ACE$ 中，$\sin\beta=\frac{AE}{AC}=\frac{15}{75}=\frac{1}{5}$，$\beta=\arcsin\frac{1}{5}\approx11.54°$。
17. (10 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的中线，过点 A 作 AE⊥CD，AE 分别与 CD、CB 相交于点 H、E，AH = 2CH.
(1) 求 sin B 的值；
(2) 已知 CD = $\sqrt{5}$，求 BE 的值.
(1) 求 sin B 的值；
(2) 已知 CD = $\sqrt{5}$，求 BE 的值.
答案：
解：(1)
∵CD是Rt△ABC的斜边中线
∴CD= BD
∴∠DCB=∠B
∵∠HAC+∠ACH=90°，∠ACH+∠DCB=90°
∴∠HAC=∠DCB=∠B
∵AH= 2CH
∴$AC=\sqrt{AH²+ HC²}=\sqrt{5}CH$
∴$sin B= sin∠HAC =\frac {HC}{AC}=\frac {\sqrt{5}}{5}$
(2)
∵$CD=\sqrt{5}$
∴$AB= 2CD= 2\sqrt{5}.$
∵$sin B =\frac {\sqrt{5}}{5}$
∴AC=2
∴BC=2AC=4
∵∠HAC=∠B，∠AHC=∠ACB
∴△ACE∽△BCA
$\frac {CE}{AC}=\frac {AC}{BC}$
∴CE=1
∴BE=BC-CE=3