19. (6分)计算：$\cos 60°\tan 60°+\frac{\sin 30°}{\cos 30°}-\sqrt{2}\cos 45°$.
答案：解:原式$=\frac{1}{2}×\sqrt{3}+\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}-\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$ =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}-1$
$ =\frac{5\sqrt{3}}{6}-1$
$ =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}-1$
$ =\frac{5\sqrt{3}}{6}-1$
20. (8分)如图，点D在△ABC的边AC上，连接BD，已知$∠ABD=∠C$，AB=6，AD=4，求线段CD的长.
答案：解：在△ABD和△ACB中
∵∠ABD=∠C，∠A=∠A
∴△ABD∽△ACB
∴$\frac {AB}{AC}=\frac {AD}{AB}$
∵AB=6，AD= 4
∴$AC=\frac {AB²}{AD}=\frac {36}{4}=9$
则CD= AC- AD= 9- 4= 5
∵∠ABD=∠C，∠A=∠A
∴△ABD∽△ACB
∴$\frac {AB}{AC}=\frac {AD}{AB}$
∵AB=6，AD= 4
∴$AC=\frac {AB²}{AD}=\frac {36}{4}=9$
则CD= AC- AD= 9- 4= 5
21. (10分)如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10 m，坡面的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30°，若新坡面的左边需留3 m的人行道，则离原坡面10 m的建筑物是否需要拆除？(参考数据：$\sqrt{2}≈1.414$，$\sqrt{3}≈1.732$)
答案：解：在Rt△ABC中
∵BC = 10，∠CAB = 45°
∴$AB=\frac {10}{tan 45°}=10$
在Rt△DBC中，∠CDB=30°
∴$DB=\frac {10}{tan 30°}=10\sqrt{3}$
则$DA= DB- DA= 10\sqrt{3}- 10≈7.32$
$3+ DA\gt 10$
答：离原坡面$10\ \mathrm {m} $的建筑物需要拆除。
∵BC = 10，∠CAB = 45°
∴$AB=\frac {10}{tan 45°}=10$
在Rt△DBC中，∠CDB=30°
∴$DB=\frac {10}{tan 30°}=10\sqrt{3}$
则$DA= DB- DA= 10\sqrt{3}- 10≈7.32$
$3+ DA\gt 10$
答：离原坡面$10\ \mathrm {m} $的建筑物需要拆除。