1. 如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为$10{m}$)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积之比为$1:2$的矩形，已知栅栏的总长度为$24{m}$，设较小矩形的短边为$x{m}$.
(1)若矩形养殖场的总面积为$36{m^{2}}$，求此时$x$的值.
(2)当$x$为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
(1)若矩形养殖场的总面积为$36{m^{2}}$，求此时$x$的值.
(2)当$x$为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
答案：
解：(1)如图进行标记
∵BC=x，矩形CDEF 的面积是矩形BCFA面积的2倍
∴CD=2x
∴BD=3x，$AB=CF=DE=\frac {1}{3} (24-BD)=8-x$
根据题意，得3x(8-x)= 36
解得$x_{1}=2，$$x_{2}=6($不合题意，舍去)
此时x的值为$2\ \mathrm {m} $
(2)设矩形养殖场的总面积为S
由(1)得$S=3x(8-x)=-3(x-4)^2+48$
∵墙的长度为$10\ \mathrm {m}$
∴$0\lt 3x≤10$
∴$0\lt x≤ \frac {10}{3}$
∵$-3\lt 0$
∴$x\lt 4$时，S 随着x的增大而增大
∴当$x=\frac {10}{3} $时，S 取最大值，最大值为$-3×(\frac {10}{3} -4)^2 +48=\frac {140}{3} (\ \mathrm {m^2})$
当$x=\frac {10}{3} $时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为$ \frac {140}{3}\ \mathrm {m^2} $
解：(1)如图进行标记
∵BC=x，矩形CDEF 的面积是矩形BCFA面积的2倍
∴CD=2x
∴BD=3x，$AB=CF=DE=\frac {1}{3} (24-BD)=8-x$
根据题意，得3x(8-x)= 36
解得$x_{1}=2，$$x_{2}=6($不合题意，舍去)
此时x的值为$2\ \mathrm {m} $
(2)设矩形养殖场的总面积为S
由(1)得$S=3x(8-x)=-3(x-4)^2+48$
∵墙的长度为$10\ \mathrm {m}$
∴$0\lt 3x≤10$
∴$0\lt x≤ \frac {10}{3}$
∵$-3\lt 0$
∴$x\lt 4$时，S 随着x的增大而增大
∴当$x=\frac {10}{3} $时，S 取最大值，最大值为$-3×(\frac {10}{3} -4)^2 +48=\frac {140}{3} (\ \mathrm {m^2})$
当$x=\frac {10}{3} $时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为$ \frac {140}{3}\ \mathrm {m^2} $
2. 某校数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第$x(1 \leqslant x \leqslant 90)$天的售价与销量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件$30$元，设销售该商品每天的利润为$y$元.
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式.
(2)第几天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)该商品在销售过程中，日销售利润不低于$4800$元的共有多少天？请直接写出结果.
已知该商品的进价为每件$30$元，设销售该商品每天的利润为$y$元.
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式.
(2)第几天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)该商品在销售过程中，日销售利润不低于$4800$元的共有多少天？请直接写出结果.
答案：解：(1) 当$1≤x\lt 50$时，$y=(200-2x)(x+40-30)=-2x^2+180x+2000；$
当50≤x≤90时y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000
综上所述：$y=\begin{cases}{-2x^2+180x+2000(1≤x\lt 50)}\\{-120x+12000(50≤x≤90)}\end{cases}$
(2) 当$1≤x\lt 50$时，二次函数的图像开口向下；
当x=45时，$y_{最大值}=6050$
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小
当x=50时，$y_{最大值}=6000$
综上所述，该商品在第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元
(3) 当20≤x≤60时，即共有41天，每天销售利润不低于4800元
当50≤x≤90时y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000
综上所述：$y=\begin{cases}{-2x^2+180x+2000(1≤x\lt 50)}\\{-120x+12000(50≤x≤90)}\end{cases}$
(2) 当$1≤x\lt 50$时，二次函数的图像开口向下；
当x=45时，$y_{最大值}=6050$
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小
当x=50时，$y_{最大值}=6000$
综上所述，该商品在第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元
(3) 当20≤x≤60时，即共有41天，每天销售利润不低于4800元