活动一：看一看 做一做
如图 5-12，二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图像与$x$轴的一个交点坐标是$(-2,0)$，顶点坐标是$(1,3)$.
(1) 观察图像，写出图像所反映的二次函数的有关信息；
(2) 怎样平移二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图像，可以使顶点坐标为$(3,6)$？
(3) 若方程$ax^{2}+bx + c = k$有两个不相等的实数根，求$k$的取值范围.
如图 5-12，二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图像与$x$轴的一个交点坐标是$(-2,0)$，顶点坐标是$(1,3)$.
(1) 观察图像，写出图像所反映的二次函数的有关信息；
(2) 怎样平移二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图像，可以使顶点坐标为$(3,6)$？
(3) 若方程$ax^{2}+bx + c = k$有两个不相等的实数根，求$k$的取值范围.
答案：解：(1)图像与x轴交于点(-2，0)、(4，0) ；
当-2＜x＜4时，y＞0
(2)沿着x轴方向先向右平移2个单位长度，再沿着y轴方向向上平移3个单位长度。
(3)由函数图像可知, y的最大值为3
所以当$k\lt 3$时,二次函数图像与直线y=k的交点有2个
即当$k\lt 3$时,方程ax²+ bx+c= k有两个不相等的实数根
当-2＜x＜4时，y＞0
(2)沿着x轴方向先向右平移2个单位长度，再沿着y轴方向向上平移3个单位长度。
(3)由函数图像可知, y的最大值为3
所以当$k\lt 3$时,二次函数图像与直线y=k的交点有2个
即当$k\lt 3$时,方程ax²+ bx+c= k有两个不相等的实数根
活动二：想一想 试一试
如图 5-13，二次函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+bx - 2$的图像与$x$轴交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于点$C$，且点$A$的坐标为$(-1,0)$.
(1) 求该二次函数的表达式及顶点$D$的坐标；
(2) 判断$\triangle ABC$的形状，并证明你的结论；
(3)$M(m,0)$是$x$轴上的一个动点，求：当$CM + DM$的值最小时，$m$的值.
如图 5-13，二次函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+bx - 2$的图像与$x$轴交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于点$C$，且点$A$的坐标为$(-1,0)$.
(1) 求该二次函数的表达式及顶点$D$的坐标；
(2) 判断$\triangle ABC$的形状，并证明你的结论；
(3)$M(m,0)$是$x$轴上的一个动点，求：当$CM + DM$的值最小时，$m$的值.
答案：
解：(1)将点A(-1，0)代入得$0=\frac {1}{2}×(-1)²+b×(-1)-2，$$b=-\frac {3}{2}$
∴二次函数表达式为$y =\frac {1}{2}x²-\frac {3}{2}x-2$
∴顶点$D(\frac {3}{2}，$$-\frac {25}{8})$
解：(2)令y=0，$-\frac {1}{2}x²-\frac {3}{2}x-2=0$
解得$x_1=-1，$$x_2=4$
令x=0，y=-2
∴B(4，0)、C(0，-2)
∴OA=1，OB=4，OC=2，AB=5
∴AB²=25，AC²=OA²+ OC²=5，BC²= OC²+OB²= 20
∴AB²=AC²+BC²
∴△ABC是直角三角形
解：(3)点C关于x轴的对称点为C'，则C'(0，2)
连接C'D交x轴于点M
设经过点C'、D的一次函数表达式为y=kx+b
将点代入得$\begin{cases}{b=2 } \\{\dfrac {3}{2}k+b=-\dfrac {25}{8}} \end{cases}\ \ \ \ \ $解得$\begin{cases}{k=-\dfrac {41}{12}}\\{b=2}\end{cases}$
∴一次函数表达式为$y= -\frac {41}{12}x+2$
令y=0，$x=\frac {24}{41}$
∴$m=\frac {24}{41}$
解：(1)将点A(-1，0)代入得$0=\frac {1}{2}×(-1)²+b×(-1)-2，$$b=-\frac {3}{2}$
∴二次函数表达式为$y =\frac {1}{2}x²-\frac {3}{2}x-2$
∴顶点$D(\frac {3}{2}，$$-\frac {25}{8})$
解：(2)令y=0，$-\frac {1}{2}x²-\frac {3}{2}x-2=0$
解得$x_1=-1，$$x_2=4$
令x=0，y=-2
∴B(4，0)、C(0，-2)
∴OA=1，OB=4，OC=2，AB=5
∴AB²=25，AC²=OA²+ OC²=5，BC²= OC²+OB²= 20
∴AB²=AC²+BC²
∴△ABC是直角三角形
解：(3)点C关于x轴的对称点为C'，则C'(0，2)
连接C'D交x轴于点M
设经过点C'、D的一次函数表达式为y=kx+b
将点代入得$\begin{cases}{b=2 } \\{\dfrac {3}{2}k+b=-\dfrac {25}{8}} \end{cases}\ \ \ \ \ $解得$\begin{cases}{k=-\dfrac {41}{12}}\\{b=2}\end{cases}$
∴一次函数表达式为$y= -\frac {41}{12}x+2$
令y=0，$x=\frac {24}{41}$
∴$m=\frac {24}{41}$