1. 对于二次函数$y =-\frac{1}{4}x^{2}+x - 4$，下列说法正确的是(
A.当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大
B.图像的顶点坐标为$(-2,-7)$
C.当$x = 2$时，$y$有最大值$-3$
D.图像与$x$轴有两个交点
C
).A.当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大
B.图像的顶点坐标为$(-2,-7)$
C.当$x = 2$时，$y$有最大值$-3$
D.图像与$x$轴有两个交点
答案：C
2. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y = ax + b$和二次函数$y = ax^{2}+bx$的图像可能是(
A
).答案：A
3. 如图，二次函数$y = x^{2}+bx + c$的图像与$x$轴的负半轴相交于$A$、$B$两点，与$y$轴的正半轴相交于点$C$，与函数$y=\frac{6}{x}$的图像的一个交点坐标是$(1,m)$，且$OA = OC$. 求该二次函数的表达式.
答案：解：把x=1，y=m 代入$y=\frac {6}{x}$得m=6
将点(1，6)代入函数表达式得6=1+b+c①
令x=0，y=c
∵OA=OC
∴A(-c，0)，C(0，c)
将点A代入函数表达式得(-c)²+b(-c)+c=0
∵$c\gt 0$
∴c-b=-1②
联立①②，解方程组得b=3，c=2
∴二次函数的表达式为y=x²+3x+2
将点(1，6)代入函数表达式得6=1+b+c①
令x=0，y=c
∵OA=OC
∴A(-c，0)，C(0，c)
将点A代入函数表达式得(-c)²+b(-c)+c=0
∵$c\gt 0$
∴c-b=-1②
联立①②，解方程组得b=3，c=2
∴二次函数的表达式为y=x²+3x+2
如图，一开口向上的抛物线与$x$轴交于点$A(m - 2,0)$、$B(m + 2,0)$，已知抛物线的顶点为$C$，且$AC\bot BC$.
(1) 若$m$为常数，求该抛物线相应的函数表达式.
(2) 若$m$为小于$0$的常数，则(1)中的抛物线经过怎样的平移可以使顶点在坐标原点？
(3) 设抛物线交$y$轴正半轴于点$D$，是否存在实数$m$，使得$\triangle BOD$为等腰三角形？若存在，求出$m$的值；若不存在，请说明理由.
(1) 若$m$为常数，求该抛物线相应的函数表达式.
(2) 若$m$为小于$0$的常数，则(1)中的抛物线经过怎样的平移可以使顶点在坐标原点？
(3) 设抛物线交$y$轴正半轴于点$D$，是否存在实数$m$，使得$\triangle BOD$为等腰三角形？若存在，求出$m$的值；若不存在，请说明理由.
答案：解：(1)∵A、B为二次函数与x轴的交点
∴A、 B关于直线x=m 对称
∵点C为二次函数的顶点，且AC⊥BC
∴△ACB为等腰直角三角形
∴C(m，-2)
设抛物线的表达式为y=a(x- m)²- 2
将点(m-2，0)代入函数表达式得0= a(m-2-m)²-2
解得$a=\frac {1}{2}$
∴抛物线函数表达式为$y=\frac {1}{2}(x-m)²- 2$
(2)∵$m\lt 0$
∴抛物线需向右平移|m|个单位长度，再向上平移2个单位长度，
可使函数$y=\frac {1}{2}(x- m)²- 2$的图像顶点在坐标原点
(3)由(1)得，D(0，$\frac {1}{2}m²-2)$
设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形
∵△BOD为直角三角形
∴OD=OB
∴$\frac {1}{2}m²-2=$|m+ 2|
当$m+2\gt 0$时，解得m=4或m=-2(舍)
当$m+2\lt 0$时，解得m=0(舍)或m=-2(舍)
当m+2=0时，即m=-2时，此时B、O、D三点重合(不合题意，舍)
综上所述：存在m=4时，使得△BOD为等腰三角形
∴A、 B关于直线x=m 对称
∵点C为二次函数的顶点，且AC⊥BC
∴△ACB为等腰直角三角形
∴C(m，-2)
设抛物线的表达式为y=a(x- m)²- 2
将点(m-2，0)代入函数表达式得0= a(m-2-m)²-2
解得$a=\frac {1}{2}$
∴抛物线函数表达式为$y=\frac {1}{2}(x-m)²- 2$
(2)∵$m\lt 0$
∴抛物线需向右平移|m|个单位长度，再向上平移2个单位长度，
可使函数$y=\frac {1}{2}(x- m)²- 2$的图像顶点在坐标原点
(3)由(1)得，D(0，$\frac {1}{2}m²-2)$
设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形
∵△BOD为直角三角形
∴OD=OB
∴$\frac {1}{2}m²-2=$|m+ 2|
当$m+2\gt 0$时，解得m=4或m=-2(舍)
当$m+2\lt 0$时，解得m=0(舍)或m=-2(舍)
当m+2=0时，即m=-2时，此时B、O、D三点重合(不合题意，舍)
综上所述：存在m=4时，使得△BOD为等腰三角形