2. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$在边$AB$上，要说明$\triangle ACD \sim \triangle ABC$，已具备的条件是
∠CAD=∠BAC
，还需添加的条件是∠ACD=∠B
或∠ADC=∠ACB
或$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$
.答案：∠CAD=∠BAC
∠ACD=∠B
∠ADC=∠ACB
$ \frac {AC}{AD}=\frac {AB}{AC}$
∠ACD=∠B
∠ADC=∠ACB
$ \frac {AC}{AD}=\frac {AB}{AC}$
3. $Rt\triangle ABC$的两条直角边长分别为$3 cm$和$4 cm$，若$Rt\triangle DEF$与$Rt\triangle ABC$相似，且一条直角边长$6 cm$，则另一条直角边长
8或$\frac{9}{2}$
$ cm$.答案：本题可根据相似三角形的性质列出比例式，进而求出另一条直角边的长度。
设$Rt\triangle DEF$的另一条直角边长为$x cm$。
已知$Rt\triangle ABC$的两条直角边长分别为$3cm$和$4cm$，$Rt\triangle DEF$与$Rt\triangle ABC$相似，且$Rt\triangle DEF$的一条直角边长为$6cm$，需分两种情况讨论：
情况一：当$Rt\triangle DEF$中$6cm$的直角边与$Rt\triangle ABC$中$3cm$的直角边是对应边时
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{3}{6}=\frac{4}{x}$，
交叉相乘可得$3x = 6×4$，
即$3x = 24$，
两边同时除以$3$，解得$x = 8$。
情况二：当$Rt\triangle DEF$中$6cm$的直角边与$Rt\triangle ABC$中$4cm$的直角边是对应边时
同样根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{3}{x}=\frac{4}{6}$，
交叉相乘可得$4x = 3×6$，
即$4x = 18$，
两边同时除以$4$，解得$x=\frac{9}{2}$。
综上，答案为$\boldsymbol{8}$或$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$。
设$Rt\triangle DEF$的另一条直角边长为$x cm$。
已知$Rt\triangle ABC$的两条直角边长分别为$3cm$和$4cm$，$Rt\triangle DEF$与$Rt\triangle ABC$相似，且$Rt\triangle DEF$的一条直角边长为$6cm$，需分两种情况讨论：
情况一：当$Rt\triangle DEF$中$6cm$的直角边与$Rt\triangle ABC$中$3cm$的直角边是对应边时
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{3}{6}=\frac{4}{x}$，
交叉相乘可得$3x = 6×4$，
即$3x = 24$，
两边同时除以$3$，解得$x = 8$。
情况二：当$Rt\triangle DEF$中$6cm$的直角边与$Rt\triangle ABC$中$4cm$的直角边是对应边时
同样根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{3}{x}=\frac{4}{6}$，
交叉相乘可得$4x = 3×6$，
即$4x = 18$，
两边同时除以$4$，解得$x=\frac{9}{2}$。
综上，答案为$\boldsymbol{8}$或$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$。
4. 如图，在等边三角形$ABC$中，$D$、$E$分别在$AC$、$AB$上，且$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$，$AE=EB$.
求证：$\triangle AED \sim \triangle CBD$.
求证：$\triangle AED \sim \triangle CBD$.
答案：证明：∵△ABC是等边三角形
∴AB= BC= AC
又∵∠A= ∠C= 60°，$\frac {AD}{AC}=\frac {1}{3}，$AE= EB
∴$\frac {AD}{DC}=\frac {AE}{BC}=\frac {1}{2}$
∴△AED∽△CBD
∴AB= BC= AC
又∵∠A= ∠C= 60°，$\frac {AD}{AC}=\frac {1}{3}，$AE= EB
∴$\frac {AD}{DC}=\frac {AE}{BC}=\frac {1}{2}$
∴△AED∽△CBD
1. 如图，在$\triangle ABC$中，$P$为边$AB$上的一点，有下列条件：①$\angle ACP=\angle B$；②$\angle APC=\angle ACB$；③$AC^{2}=AP · AB$；④$AB · CP=AP · CB$，其中能使得$\triangle APC \sim \triangle ACB$成立的是(
A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③
D
).A.①②④
B.①③④
C.②③④
D.①②③
答案：D
2. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB=12 cm$，$BC=6 cm$，点$P$沿边$AB$从点$A$开始向点$B$以$2 cm/s$的速度移动，点$Q$沿边$DA$从点$D$开始向点$A$以$1 cm/s$的速度移动.如果点$P$、$Q$同时出发，用$t(s)$表示移动的时间($0 \leq t \leq 6$)，那么当$t$为何值时，以$Q$、$A$、$P$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似？
答案：解：由条件知： AP= 2t，QD=t，AQ=6-t，∠B=∠PAQ = 90°
(1)当$\frac {AQ}{BC}=\frac {AP}{AB}$时，△AQP∽△BCA
∴$\frac {6-t}{6} =\frac {2t}{12}$
∴t=3
(2)当$\frac {AQ}{AB}=\frac {AP}{BC}$时，△APQ∽△BCA
∴$\frac {6-t}{12}=\frac {2t}{6}$
∴$t=\frac {6}{5}$
(1)当$\frac {AQ}{BC}=\frac {AP}{AB}$时，△AQP∽△BCA
∴$\frac {6-t}{6} =\frac {2t}{12}$
∴t=3
(2)当$\frac {AQ}{AB}=\frac {AP}{BC}$时，△APQ∽△BCA
∴$\frac {6-t}{12}=\frac {2t}{6}$
∴$t=\frac {6}{5}$