16. 如图，已知数轴上的两个点 $A$，$B$ 所表示的数分别为 $a$，$b$，在 $a + b$，$a - b$，$ab$，$\vert a\vert-\vert b\vert$ 中，是正数的有
$a-b$
.答案：16. $a-b$.
解析：
解：由数轴可知，$b ＜ 0 ＜ a$，且$|b| ＞ |a|$。
$a + b$：异号两数相加，取绝对值较大的符号，$|b| ＞ |a|$，所以$a + b ＜ 0$；
$a - b$：减去一个负数等于加上它的相反数，即$a - b = a + |b|$，$a ＞ 0$，$|b| ＞ 0$，所以$a - b ＞ 0$；
$ab$：异号两数相乘得负，所以$ab ＜ 0$；
$|a| - |b|$：$|a| ＜ |b|$，所以$|a| - |b| ＜ 0$。
综上，是正数的有$a - b$。
$a - b$
$a + b$：异号两数相加，取绝对值较大的符号，$|b| ＞ |a|$，所以$a + b ＜ 0$；
$a - b$：减去一个负数等于加上它的相反数，即$a - b = a + |b|$，$a ＞ 0$，$|b| ＞ 0$，所以$a - b ＞ 0$；
$ab$：异号两数相乘得负，所以$ab ＜ 0$；
$|a| - |b|$：$|a| ＜ |b|$，所以$|a| - |b| ＜ 0$。
综上，是正数的有$a - b$。
$a - b$
17. 如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第 $2025$ 个格子中的数为
2
.答案：17. 2.
解析：
解：由题意得，任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，即$3 + a + b = a + b + c$，解得$c = 3$；
又因为$a + b + c = b + c + (-1)$，将$c = 3$代入，得$a + b + 3 = b + 3 + (-1)$，解得$a = -1$；
再由$b + c + (-1) = c + (-1) + d$（$d$为$-1$右边第一个数），可得$b = d$，同理可推出数列周期为$3$，即$3, -1, b, 3, -1, b, \ldots$。
已知第$9$个数为$2$，因为$9÷3 = 3$，所以第$3$个数$b = 2$，数列周期为$3$：$3, -1, 2, 3, -1, 2, \ldots$。
$2025÷3 = 675$，余数为$0$，故第$2025$个格子中的数为周期中的第$3$个数，即$2$。
2
又因为$a + b + c = b + c + (-1)$，将$c = 3$代入，得$a + b + 3 = b + 3 + (-1)$，解得$a = -1$；
再由$b + c + (-1) = c + (-1) + d$（$d$为$-1$右边第一个数），可得$b = d$，同理可推出数列周期为$3$，即$3, -1, b, 3, -1, b, \ldots$。
已知第$9$个数为$2$，因为$9÷3 = 3$，所以第$3$个数$b = 2$，数列周期为$3$：$3, -1, 2, 3, -1, 2, \ldots$。
$2025÷3 = 675$，余数为$0$，故第$2025$个格子中的数为周期中的第$3$个数，即$2$。
2
三、解答题（共 5 小题，共 49 分）
18. （10 分）计算：
（1）$\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\vert\sin 30^{\circ}-π^{0}\vert-\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$；
（2）$(-4a^{2}b^{4}c)÷(\frac{1}{2}a^{2}b^{3})· 2ab^{2}$.
18. （10 分）计算：
（1）$\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\vert\sin 30^{\circ}-π^{0}\vert-\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$；
（2）$(-4a^{2}b^{4}c)÷(\frac{1}{2}a^{2}b^{3})· 2ab^{2}$.
答案：18. (1) $1-\sqrt{3}$；(2) $-16ab^{3}c$.
解析：
（1）$\begin{aligned}&\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\vert\sin 30^{\circ}-π^{0}\vert-\sqrt[3]{\frac{27}{8}}\\=&2 - \sqrt{3} + \left|\frac{1}{2} - 1\right| - \frac{3}{2}\\=&2 - \sqrt{3} + \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\\=&1 - \sqrt{3}\end{aligned}$
（2）$\begin{aligned}&(-4a^{2}b^{4}c)÷(\frac{1}{2}a^{2}b^{3})· 2ab^{2}\\=&(-4÷\frac{1}{2})·(a^{2}÷a^{2})·(b^{4}÷b^{3})·c·2ab^{2}\\=&-8·1·b·c·2ab^{2}\\=&-16ab^{3}c\end{aligned}$
（2）$\begin{aligned}&(-4a^{2}b^{4}c)÷(\frac{1}{2}a^{2}b^{3})· 2ab^{2}\\=&(-4÷\frac{1}{2})·(a^{2}÷a^{2})·(b^{4}÷b^{3})·c·2ab^{2}\\=&-8·1·b·c·2ab^{2}\\=&-16ab^{3}c\end{aligned}$
19. （10 分）先化简，再求值：
（1）$(\frac{3}{x - 1}-x - 1)·\frac{x - 1}{x^{2}-4x + 4}$，从 $1$，$2$，$3$ 中选取一个适当的数代入求值；
（2）$[(a+\frac{1}{3}b)^{2}+(a-\frac{1}{3}b)^{2}]·(2a^{2}-\frac{2}{9}b^{2})$，其中 $a = 2$，$b = 3$.
（1）$(\frac{3}{x - 1}-x - 1)·\frac{x - 1}{x^{2}-4x + 4}$，从 $1$，$2$，$3$ 中选取一个适当的数代入求值；
（2）$[(a+\frac{1}{3}b)^{2}+(a-\frac{1}{3}b)^{2}]·(2a^{2}-\frac{2}{9}b^{2})$，其中 $a = 2$，$b = 3$.
答案：19. (1) $\frac{2+x}{2-x}$；当 $x=1$ 时，原式 $=3$；当 $x=3$ 时，原式 $=-5$；(2) $4a^{4}-\frac{4}{81}b^{4}$，当 $a=2$，$b=3$ 时，原式 $=60$.
解析：
（1）$\begin{aligned}&(\frac{3}{x - 1}-x - 1)·\frac{x - 1}{x^{2}-4x + 4}\\=&(\frac{3}{x - 1}-\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1})·\frac{x - 1}{(x - 2)^2}\\=&\frac{3 - (x^2 - 1)}{x - 1}·\frac{x - 1}{(x - 2)^2}\\=&\frac{4 - x^2}{x - 1}·\frac{x - 1}{(x - 2)^2}\\=&\frac{-(x^2 - 4)}{(x - 2)^2}\\=&\frac{-(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)^2}\\=&\frac{-(x + 2)}{x - 2}\\=&\frac{2 + x}{2 - x}\end{aligned}$
当$x = 1$时，原式$=\frac{2 + 1}{2 - 1}=3$；当$x = 3$时，原式$=\frac{2 + 3}{2 - 3}=-5$
（2）$\begin{aligned}&[(a+\frac{1}{3}b)^{2}+(a-\frac{1}{3}b)^{2}]·(2a^{2}-\frac{2}{9}b^{2})\\=&(a^2 + \frac{2}{3}ab + \frac{1}{9}b^2 + a^2 - \frac{2}{3}ab + \frac{1}{9}b^2)·2(a^2 - \frac{1}{9}b^2)\\=&(2a^2 + \frac{2}{9}b^2)·2(a^2 - \frac{1}{9}b^2)\\=&2(a^2 + \frac{1}{9}b^2)·2(a^2 - \frac{1}{9}b^2)\\=&4(a^4 - \frac{1}{81}b^4)\\=&4a^4 - \frac{4}{81}b^4\end{aligned}$
当$a = 2$，$b = 3$时，原式$=4×2^4 - \frac{4}{81}×3^4=4×16 - \frac{4}{81}×81=64 - 4=60$
当$x = 1$时，原式$=\frac{2 + 1}{2 - 1}=3$；当$x = 3$时，原式$=\frac{2 + 3}{2 - 3}=-5$
（2）$\begin{aligned}&[(a+\frac{1}{3}b)^{2}+(a-\frac{1}{3}b)^{2}]·(2a^{2}-\frac{2}{9}b^{2})\\=&(a^2 + \frac{2}{3}ab + \frac{1}{9}b^2 + a^2 - \frac{2}{3}ab + \frac{1}{9}b^2)·2(a^2 - \frac{1}{9}b^2)\\=&(2a^2 + \frac{2}{9}b^2)·2(a^2 - \frac{1}{9}b^2)\\=&2(a^2 + \frac{1}{9}b^2)·2(a^2 - \frac{1}{9}b^2)\\=&4(a^4 - \frac{1}{81}b^4)\\=&4a^4 - \frac{4}{81}b^4\end{aligned}$
当$a = 2$，$b = 3$时，原式$=4×2^4 - \frac{4}{81}×3^4=4×16 - \frac{4}{81}×81=64 - 4=60$
20. （10 分）因式分解：
（1）$-x^{3}+2x^{2}-x$；
（2）$a^{2}(x - y)+9b^{2}(y - x)$.
（1）$-x^{3}+2x^{2}-x$；
（2）$a^{2}(x - y)+9b^{2}(y - x)$.
答案：20. (1) $-x(x-1)^{2}$；(2) $(x-y)(a+3b)· (a-3b)$.
解析：
（1）$-x^{3}+2x^{2}-x$
$=-x(x^{2}-2x + 1)$
$=-x(x - 1)^{2}$
（2）$a^{2}(x - y)+9b^{2}(y - x)$
$=a^{2}(x - y)-9b^{2}(x - y)$
$=(x - y)(a^{2}-9b^{2})$
$=(x - y)(a + 3b)(a - 3b)$
$=-x(x^{2}-2x + 1)$
$=-x(x - 1)^{2}$
（2）$a^{2}(x - y)+9b^{2}(y - x)$
$=a^{2}(x - y)-9b^{2}(x - y)$
$=(x - y)(a^{2}-9b^{2})$
$=(x - y)(a + 3b)(a - 3b)$