19. （8 分）已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} - (2k - 3)x + k^{2} + 1 = 0 $.
（1）当 $ k $ 为何值时，此方程有实数根？
（2）若此方程的两实数根 $ x_{1} $，$ x_{2} $ 满足：$ |x_{1}| + |x_{2}| = 3 $，求 $ k $ 的值.
（1）当 $ k $ 为何值时，此方程有实数根？
（2）若此方程的两实数根 $ x_{1} $，$ x_{2} $ 满足：$ |x_{1}| + |x_{2}| = 3 $，求 $ k $ 的值.
答案：19. (1) $k ≤ \frac{5}{12}$；(2) $k = 0$.
解析：
（1）解：方程有实数根，判别式$\Delta ≥ 0$。
$\Delta = (2k - 3)^2 - 4(k^2 + 1) = 4k^2 - 12k + 9 - 4k^2 - 4 = -12k + 5$。
$-12k + 5 ≥ 0$，解得$k ≤ \frac{5}{12}$。
（2）解：由韦达定理，$x_1 + x_2 = 2k - 3$，$x_1x_2 = k^2 + 1 ＞ 0$，故$x_1$，$x_2$同号。
当$x_1$，$x_2$同为非负数时，$|x_1| + |x_2| = x_1 + x_2 = 2k - 3 = 3$，解得$k = 3$，但$k = 3 ＞ \frac{5}{12}$，舍去。
当$x_1$，$x_2$同为负数时，$|x_1| + |x_2| = -x_1 - x_2 = -(x_1 + x_2) = -(2k - 3) = 3$，即$-2k + 3 = 3$，解得$k = 0$，$k = 0 ≤ \frac{5}{12}$，符合条件。
综上，$k = 0$。
$\Delta = (2k - 3)^2 - 4(k^2 + 1) = 4k^2 - 12k + 9 - 4k^2 - 4 = -12k + 5$。
$-12k + 5 ≥ 0$，解得$k ≤ \frac{5}{12}$。
（2）解：由韦达定理，$x_1 + x_2 = 2k - 3$，$x_1x_2 = k^2 + 1 ＞ 0$，故$x_1$，$x_2$同号。
当$x_1$，$x_2$同为非负数时，$|x_1| + |x_2| = x_1 + x_2 = 2k - 3 = 3$，解得$k = 3$，但$k = 3 ＞ \frac{5}{12}$，舍去。
当$x_1$，$x_2$同为负数时，$|x_1| + |x_2| = -x_1 - x_2 = -(x_1 + x_2) = -(2k - 3) = 3$，即$-2k + 3 = 3$，解得$k = 0$，$k = 0 ≤ \frac{5}{12}$，符合条件。
综上，$k = 0$。
20. （10 分）某校购买了 50 个 A 类足球和 25 个 B 类足球，共花费 7 500 元，已知购买一个 B 类足球比购买一个 A 类足球多花 30 元.
（1）求购买一个 A 类足球和一个 B 类足球各需多少元；
（2）通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划用不超过 4 800 元的经费再次购买 A 类足球和 B 类足球共 50 个. 若单价不变，则本次至少可以购买多少个 A 类足球？
（1）求购买一个 A 类足球和一个 B 类足球各需多少元；
（2）通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划用不超过 4 800 元的经费再次购买 A 类足球和 B 类足球共 50 个. 若单价不变，则本次至少可以购买多少个 A 类足球？
答案：20. (1) A 类足球每个 90 元，B 类足球每个 120 元；(2) 至少可以购买 40 个 A 类足球.
解析：
（1）设购买一个 A 类足球需 $ x $ 元，则购买一个 B 类足球需 $ (x + 30) $ 元。
根据题意，得 $ 50x + 25(x + 30) = 7500 $
解得 $ x = 90 $
则 $ x + 30 = 120 $
答：购买一个 A 类足球需 90 元，购买一个 B 类足球需 120 元。
（2）设购买 $ m $ 个 A 类足球，则购买 $ (50 - m) $ 个 B 类足球。
根据题意，得 $ 90m + 120(50 - m) ≤ 4800 $
解得 $ m ≥ 40 $
答：本次至少可以购买 40 个 A 类足球。
根据题意，得 $ 50x + 25(x + 30) = 7500 $
解得 $ x = 90 $
则 $ x + 30 = 120 $
答：购买一个 A 类足球需 90 元，购买一个 B 类足球需 120 元。
（2）设购买 $ m $ 个 A 类足球，则购买 $ (50 - m) $ 个 B 类足球。
根据题意，得 $ 90m + 120(50 - m) ≤ 4800 $
解得 $ m ≥ 40 $
答：本次至少可以购买 40 个 A 类足球。
21. （12 分）某商店准备购进 A、B 两种商品，A 种商品每件的进价比 B 种商品每件的进价多 20 元，用 3 000 元购进 A 种商品和用 1 800 元购进 B 种商品的数量相同. 商店将 A 种商品每件的售价定为 80 元，B 种商品每件的售价定为 45 元.
（1）A 种商品每件的进价和 B 种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过 1 560 元的资金购进 A，B 两种商品共 40 件，其中 A 种商品的数量不低于 B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件 A 种商品售价优惠 $ m(10 ＜ m ＜ 20) $ 元，B 种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出销售这 40 件商品获得总利润最大的进货方案.
（1）A 种商品每件的进价和 B 种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过 1 560 元的资金购进 A，B 两种商品共 40 件，其中 A 种商品的数量不低于 B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件 A 种商品售价优惠 $ m(10 ＜ m ＜ 20) $ 元，B 种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出销售这 40 件商品获得总利润最大的进货方案.
答案：21. (1) A 种商品每件的进价是 50 元，B 种商品每件的进价是 30 元；(2) 商店共有 5 种进货方案，A14 件、B26 件，A15 件、B25 件，A16 件、B24 件，A17 件、B23 件，A18 件、B22 件；(3) ① 当 $10 ＜ m ＜ 15$ 时，买 18 件 A 商品，22 件 B 商品获利最大；② 当 $m = 15$ 时，第(2)问中所有进货方案获利相同；③ 当 $15 ＜ m ＜ 20$ 时，买 14 件 A 商品，26 件 B 商品获利最大.
解析：
（1）设B种商品每件的进价是$x$元，则A种商品每件的进价是$(x + 20)$元。
由题意得：$\frac{3000}{x + 20} = \frac{1800}{x}$
解得：$x = 30$
经检验，$x = 30$是原方程的解，且符合题意。
$x + 20 = 30 + 20 = 50$
答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元。
（2）设购进A种商品$a$件，则购进B种商品$(40 - a)$件。
由题意得：$\begin{cases}50a + 30(40 - a) ≤ 1560 \\ a ≥ \frac{1}{2}(40 - a)\end{cases}$
解第一个不等式：$50a + 1200 - 30a ≤ 1560$
$20a ≤ 360$
$a ≤ 18$
解第二个不等式：$2a ≥ 40 - a$
$3a ≥ 40$
$a ≥ \frac{40}{3} \approx 13.33$
因为$a$为正整数，所以$a = 14,15,16,17,18$
共有5种进货方案：
方案1：A14件、B26件；
方案2：A15件、B25件；
方案3：A16件、B24件；
方案4：A17件、B23件；
方案5：A18件、B22件。
（3）设总利润为$W$元。
$W=(80 - 50 - m)a + (45 - 30)(40 - a)=(30 - m)a + 15(40 - a)=(15 - m)a + 600$
①当$10 ＜ m ＜ 15$时，$15 - m ＞ 0$，$W$随$a$的增大而增大，所以$a = 18$时，$W$最大，即购进A18件、B22件。
②当$m = 15$时，$15 - m = 0$，$W = 600$，所有进货方案获利相同。
③当$15 ＜ m ＜ 20$时，$15 - m ＜ 0$，$W$随$a$的增大而减小，所以$a = 14$时，$W$最大，即购进A14件、B26件。
由题意得：$\frac{3000}{x + 20} = \frac{1800}{x}$
解得：$x = 30$
经检验，$x = 30$是原方程的解，且符合题意。
$x + 20 = 30 + 20 = 50$
答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元。
（2）设购进A种商品$a$件，则购进B种商品$(40 - a)$件。
由题意得：$\begin{cases}50a + 30(40 - a) ≤ 1560 \\ a ≥ \frac{1}{2}(40 - a)\end{cases}$
解第一个不等式：$50a + 1200 - 30a ≤ 1560$
$20a ≤ 360$
$a ≤ 18$
解第二个不等式：$2a ≥ 40 - a$
$3a ≥ 40$
$a ≥ \frac{40}{3} \approx 13.33$
因为$a$为正整数，所以$a = 14,15,16,17,18$
共有5种进货方案：
方案1：A14件、B26件；
方案2：A15件、B25件；
方案3：A16件、B24件；
方案4：A17件、B23件；
方案5：A18件、B22件。
（3）设总利润为$W$元。
$W=(80 - 50 - m)a + (45 - 30)(40 - a)=(30 - m)a + 15(40 - a)=(15 - m)a + 600$
①当$10 ＜ m ＜ 15$时，$15 - m ＞ 0$，$W$随$a$的增大而增大，所以$a = 18$时，$W$最大，即购进A18件、B22件。
②当$m = 15$时，$15 - m = 0$，$W = 600$，所有进货方案获利相同。
③当$15 ＜ m ＜ 20$时，$15 - m ＜ 0$，$W$随$a$的增大而减小，所以$a = 14$时，$W$最大，即购进A14件、B26件。