设该点坐标为$(a, -a)$。
对于选项A：将$(a, -a)$代入$y = -x$，左边$=-a$，右边$=-a$，等式成立，该点在直线$y = -x$上。
对于选项B：将$(a, -a)$代入$y = x^2$，得$-a = a^2$，即$a^2 + a = 0$，$a(a + 1) = 0$，解得$a = 0$或$a = -1$，存在这样的点，该点可能在抛物线$y = x^2$上。
对于选项C：将$(a, -a)$代入$y = x$，得$-a = a$，即$2a = 0$，解得$a = 0$，此时点为$(0, 0)$，该点在直线$y = x$上。
对于选项D：将$(a, -a)$代入$y = \dfrac{1}{x}$，得$-a = \dfrac{1}{a}$，即$-a^2 = 1$，$a^2 = -1$，方程无实数解，该点一定不在双曲线$y = \dfrac{1}{x}$上。
D

因为反比例函数$y = \dfrac{k}{x}$的图象经过点$(-1,2)$，所以将$x=-1$，$y=2$代入函数可得$2 = \dfrac{k}{-1}$，解得$k=-2$，则该反比例函数为$y = \dfrac{-2}{x}$。
分别验证各选项：
选项A：当$x=2$时，$y = \dfrac{-2}{2}=-1$，所以点$(2,-1)$在函数图象上。
选项B：当$x=-\dfrac{1}{2}$时，$y = \dfrac{-2}{-\dfrac{1}{2}}=4≠2$，所以点$(-\dfrac{1}{2},2)$不在函数图象上。
选项C：当$x=-2$时，$y = \dfrac{-2}{-2}=1≠-1$，所以点$(-2,-1)$不在函数图象上。
选项D：当$x=\dfrac{1}{2}$时，$y = \dfrac{-2}{\dfrac{1}{2}}=-4≠2$，所以点$(\dfrac{1}{2},2)$不在函数图象上。
A

解：对于反比例函数$y = \dfrac{2}{x}$，$k = 2 ＞ 0$，其图象在第一、三象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
因为$x_1 ＜ x_2 ＜ 0$，所以$P_1$，$P_2$在第三象限，$y_1 = \dfrac{2}{x_1}$，$y_2 = \dfrac{2}{x_2}$，且$y_2 ＜ y_1 ＜ 0$。
因为$0 ＜ x_3$，所以$P_3$在第一象限，$y_3 = \dfrac{2}{x_3} ＞ 0$。
综上，$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
C

解：联立方程组$\begin{cases}y = kx \\ y = \dfrac{3}{x}\end{cases}$，得$kx=\dfrac{3}{x}$，即$x^2 = \dfrac{3}{k}$，解得$x = \pm\sqrt{\dfrac{3}{k}}$。
设$A(\sqrt{\dfrac{3}{k}}, k\sqrt{\dfrac{3}{k}})$，则$C(-\sqrt{\dfrac{3}{k}}, -k\sqrt{\dfrac{3}{k}})$。
过$A$作$x$轴垂线，垂足为$B$，则$B(\sqrt{\dfrac{3}{k}}, 0)$。
$△ ABC$的底$AB = k\sqrt{\dfrac{3}{k}}$，高为$B$到$C$的水平距离$2\sqrt{\dfrac{3}{k}}$。
面积$S=\dfrac{1}{2}× AB× 2\sqrt{\dfrac{3}{k}}=\dfrac{1}{2}× k\sqrt{\dfrac{3}{k}}× 2\sqrt{\dfrac{3}{k}} = 3$。
C

解：
情况1： 当 $a ＞ 0$ 时，
反比例函数 $y = \dfrac{a}{x}$ 的图象在第一、三象限；
由 $ab ＜ 0$ 得 $b ＜ 0$，则一次函数 $y = ax - b$ 中，$-b ＞ 0$，故其图象过第一、二、三象限。
情况2： 当 $a ＜ 0$ 时，
反比例函数 $y = \dfrac{a}{x}$ 的图象在第二、四象限；
由 $ab ＜ 0$ 得 $b ＞ 0$，则一次函数 $y = ax - b$ 中，$-b ＜ 0$，故其图象过第二、三、四象限。
结合选项，只有D符合上述情况。
D

二次函数$y = x^2 - 4x + n$的图象与$x$轴只有一个公共点，即方程$x^2 - 4x + n = 0$有两个相等的实数根。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根。
在方程$x^2 - 4x + n = 0$中，$a = 1$，$b = -4$，$c = n$，则$\Delta = (-4)^2 - 4×1× n = 16 - 4n$。
令$\Delta = 0$，即$16 - 4n = 0$，解得$n = 4$。
A

对于二次函数$y = 2x^2 + 9x - 34$，其对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{9}{4}$。
因为当自变量$x$取两个不同的值$x_1$，$x_2$时函数值相等，所以$x_1$，$x_2$关于对称轴对称，即$\frac{x_1 + x_2}{2}=-\frac{9}{4}$，可得$x_1 + x_2=-\frac{9}{2}$。
当$x = x_1 + x_2=-\frac{9}{2}$时，函数值$y = 2×(-\frac{9}{2})^2 + 9×(-\frac{9}{2}) - 34$
$=2×\frac{81}{4}-\frac{81}{2}-34$
$=\frac{81}{2}-\frac{81}{2}-34=-34$。
当$x = 0$时，函数值$y = 2×0^2 + 9×0 - 34=-34$。
所以当自变量$x$取$x_1 + x_2$时的函数值与$x = 0$时的函数值相等。
B