2. 如图，点 $ P $ 是正比例函数 $ y = x $ 与反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $ 在第一象限内的交点，$ PA ⊥ OP $ 交 $ x $ 轴于点 $ A $，$ △ POA $ 的面积为 2，求 $ k $ 的值.
答案：
2. 解: 过点 P 作 $PB⊥ OA$ 于点 B.
∵ 正比例函数的解析式为 $y = x$,
∴ $∠ POA = 45^{\circ}$.
∵ $PA⊥ OP$,
∴ $△ POA$ 为等腰直角三角形,
∴ $OB = AB$,
∴ $S_{△ POB}=\frac{1}{2}S_{△ POA}=\frac{1}{2}× 2 = 1$,
∴ $\frac{1}{2}k = 1$,
∴ $k = 2$.
2. 解: 过点 P 作 $PB⊥ OA$ 于点 B.
∵ 正比例函数的解析式为 $y = x$,
∴ $∠ POA = 45^{\circ}$.
∵ $PA⊥ OP$,
∴ $△ POA$ 为等腰直角三角形,
∴ $OB = AB$,
∴ $S_{△ POB}=\frac{1}{2}S_{△ POA}=\frac{1}{2}× 2 = 1$,
∴ $\frac{1}{2}k = 1$,
∴ $k = 2$.
3. 如图，直线 $ y = x - 1 $ 与反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $ 的图象交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ x $ 轴交于点 $ C $，已知点 $ A $ 的坐标为 $ (-1,m) $.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点 $ P(n,-1) $ 是反比例函数图象上一点，过点 $ P $ 作 $ PE ⊥ x $ 轴于点 $ E $，延长 $ EP $ 交直线 $ AB $ 于点 $ F $，求 $ △ CEF $ 的面积.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点 $ P(n,-1) $ 是反比例函数图象上一点，过点 $ P $ 作 $ PE ⊥ x $ 轴于点 $ E $，延长 $ EP $ 交直线 $ AB $ 于点 $ F $，求 $ △ CEF $ 的面积.
答案：3. 解: (1) 将点 A 的坐标代入 $y = x - 1$, 可得 $m = -1 - 1 = -2$, 将点 $A(-1,-2)$ 代入反比例函数 $y=\frac{k}{x}$, 可得 $k = -1× (-2) = 2$, 故反比例函数解析式为 $y=\frac{2}{x}$. (2) 将点 P 的纵坐标 $y = -1$ 代入反比例函数解析式, 可得 $x = -2$, 将点 F 的横坐标 $x = -2$ 代入直线解析式, 可得 $y = -3$. 故可得 $EF = 3$, $CE = OE + OC = 2 + 1 = 3$, 故可得 $S_{△ CEF}=\frac{1}{2}× CE× EF=\frac{9}{2}$.
解析：
3. 解：(1)将点$A(-1,m)$代入$y = x - 1$，得$m=-1 - 1=-2$，则$A(-1,-2)$。将$A(-1,-2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=(-1)×(-2)=2$，故反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$。
(2)将$y=-1$代入$y=\frac{2}{x}$，得$x=-2$，则$P(-2,-1)$，$E(-2,0)$。将$x=-2$代入$y = x - 1$，得$y=-2 - 1=-3$，则$F(-2,-3)$。$EF=|-3 - 0|=3$，在$y = x - 1$中，令$y=0$，得$x=1$，则$C(1,0)$，$CE=|1 - (-2)|=3$。$S_{△CEF}=\frac{1}{2}× CE× EF=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。
(2)将$y=-1$代入$y=\frac{2}{x}$，得$x=-2$，则$P(-2,-1)$，$E(-2,0)$。将$x=-2$代入$y = x - 1$，得$y=-2 - 1=-3$，则$F(-2,-3)$。$EF=|-3 - 0|=3$，在$y = x - 1$中，令$y=0$，得$x=1$，则$C(1,0)$，$CE=|1 - (-2)|=3$。$S_{△CEF}=\frac{1}{2}× CE× EF=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。
4. 南通市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为 $ 18^{\circ}C $ 的条件下生长最快的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度 $ y(^{\circ}C) $ 随时间 $ x(h) $ 变化的函数图象，其中 $ BC $ 段是双曲线 $ y = \dfrac{k}{x} $ 的一部分.请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度 $ 18^{\circ}C $ 的时间有多少小时？
（2）求 $ k $ 的值.
（3）当 $ x = 16 $ 时，大棚内的温度约为多少摄氏度？
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度 $ 18^{\circ}C $ 的时间有多少小时？
（2）求 $ k $ 的值.
（3）当 $ x = 16 $ 时，大棚内的温度约为多少摄氏度？
答案：4. 解: (1) 恒温系统在这天保持大棚温度 $18^{\circ}C$ 的时间为 $12 - 2 = 10(h)$. (2)
∵ 点 $B(12,18)$ 在双曲线 $y=\frac{k}{x}$ 上,
∴ $18=\frac{k}{12}$, 解得 $k = 216$. (3) 当 $x = 16$ 时, $y=\frac{216}{16}=13.5$, 所以当 $x = 16$ 时, 大棚内的温度约为 $13.5^{\circ}C$.
∵ 点 $B(12,18)$ 在双曲线 $y=\frac{k}{x}$ 上,
∴ $18=\frac{k}{12}$, 解得 $k = 216$. (3) 当 $x = 16$ 时, $y=\frac{216}{16}=13.5$, 所以当 $x = 16$ 时, 大棚内的温度约为 $13.5^{\circ}C$.