6. 北宋的“燕几图”是七巧板的前身。一共有七张桌子，其中两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面不同的摆放方式可组合成不同的矩形。如图给出了“燕几图”中“屏山”的桌面拼图方式，其中横边长与纵边长的比是$4:5$。设长桌、中桌和小桌桌面的长分别为$a$，$b$，$c$。嘉嘉经过研究，得出结论：① $a = 2c$；② $b = \frac{3}{2}c$。下列判断正确的是(
A.①②都对
B.①②都错
C.①对，②错
D.①错，②对
A
)A.①②都对
B.①②都错
C.①对，②错
D.①错，②对
答案：6. A.
解析：
设桌面的宽为$w$。
从横边看：$a + b = 4k$（设横边长为$4k$）。
从纵边看：$a + w = 5k$（设纵边长为$5k$），且$b + 2c = 5k$，$2w = c$。
由$2w = c$得$w = \frac{c}{2}$。
由$a + w = 5k$得$a = 5k - w = 5k - \frac{c}{2}$。
由$b + 2c = 5k$得$b = 5k - 2c$。
又因为$a + b = 4k$，将$a$、$b$代入得：$5k - \frac{c}{2} + 5k - 2c = 4k$，
化简得$10k - \frac{5c}{2} = 4k$，$6k = \frac{5c}{2}$，$k = \frac{5c}{12}$。
则$a = 5×\frac{5c}{12} - \frac{c}{2} = \frac{25c}{12} - \frac{6c}{12} = \frac{19c}{12}≠2c$，
$b = 5×\frac{5c}{12} - 2c = \frac{25c}{12} - \frac{24c}{12} = \frac{c}{12}≠\frac{3}{2}c$。
1
从横边看：$a + b = 4k$（设横边长为$4k$）。
从纵边看：$a + w = 5k$（设纵边长为$5k$），且$b + 2c = 5k$，$2w = c$。
由$2w = c$得$w = \frac{c}{2}$。
由$a + w = 5k$得$a = 5k - w = 5k - \frac{c}{2}$。
由$b + 2c = 5k$得$b = 5k - 2c$。
又因为$a + b = 4k$，将$a$、$b$代入得：$5k - \frac{c}{2} + 5k - 2c = 4k$，
化简得$10k - \frac{5c}{2} = 4k$，$6k = \frac{5c}{2}$，$k = \frac{5c}{12}$。
则$a = 5×\frac{5c}{12} - \frac{c}{2} = \frac{25c}{12} - \frac{6c}{12} = \frac{19c}{12}≠2c$，
$b = 5×\frac{5c}{12} - 2c = \frac{25c}{12} - \frac{24c}{12} = \frac{c}{12}≠\frac{3}{2}c$。
1
7. 若$△ ABC$相似于$△ A'B'C'$，且$\frac{AB}{A'B'} = 3$，则$△ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比是
$3:1$
，$△ A'B'C'$与$△ ABC$的相似比是$1:3$
。答案：7. $3:1;1:3$.
解析：
$3:1$；$1:3$
8. 如图，已知$△ ABC$相似于$△ ADB$，若$∠ C = 46^{\circ}$，$∠ A = 28^{\circ}$，则$∠ ABD =$
$46^{\circ}$
，$∠ BDC =$$74^{\circ}$
；若$AB = 4$，$AD = 3$，则$AC =$$\dfrac{16}{3}$
。答案：8. $46^{\circ};74^{\circ};\dfrac{16}{3}$.
解析：
解：在$△ ABC$中，$∠ A=28^{\circ}$，$∠ C=46^{\circ}$，
$∠ ABC=180^{\circ}-∠ A-∠ C=180^{\circ}-28^{\circ}-46^{\circ}=106^{\circ}$。
因为$△ ABC∼△ ADB$，
所以$∠ ABD=∠ C=46^{\circ}$，$∠ ADB=∠ ABC=106^{\circ}$。
$∠ BDC=180^{\circ}-∠ ADB=180^{\circ}-106^{\circ}=74^{\circ}$。
因为$△ ABC∼△ ADB$，
所以$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$，即$\dfrac{3}{4}=\dfrac{4}{AC}$，
解得$AC=\dfrac{16}{3}$。
$46^{\circ}$；$74^{\circ}$；$\dfrac{16}{3}$
$∠ ABC=180^{\circ}-∠ A-∠ C=180^{\circ}-28^{\circ}-46^{\circ}=106^{\circ}$。
因为$△ ABC∼△ ADB$，
所以$∠ ABD=∠ C=46^{\circ}$，$∠ ADB=∠ ABC=106^{\circ}$。
$∠ BDC=180^{\circ}-∠ ADB=180^{\circ}-106^{\circ}=74^{\circ}$。
因为$△ ABC∼△ ADB$，
所以$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$，即$\dfrac{3}{4}=\dfrac{4}{AC}$，
解得$AC=\dfrac{16}{3}$。
$46^{\circ}$；$74^{\circ}$；$\dfrac{16}{3}$
9. 一个四边形的边长分别是$3$，$4$，$5$，$6$，另一个与它相似的四边形的最小边长为$6$，则另一个四边形的最大边长是
12
。答案：9. 12.
解析：
设另一个四边形的最大边长为$x$。
因为两个四边形相似，所以对应边成比例。已知原四边形最小边长为$3$，另一个四边形最小边长为$6$，则相似比为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
原四边形最大边长为$6$，可得$\frac{6}{x}=\frac{1}{2}$，解得$x = 12$。
12
因为两个四边形相似，所以对应边成比例。已知原四边形最小边长为$3$，另一个四边形最小边长为$6$，则相似比为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
原四边形最大边长为$6$，可得$\frac{6}{x}=\frac{1}{2}$，解得$x = 12$。
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自主拓展
如图，已知将长为$1\ m$的矩形$ABCD$裁去一个正方形$ABFE$后，得到的矩形$FCDE$与原矩形相似。
（1）求矩形$ABCD$的宽；
（2）再将矩形$FCDE$裁去一个正方形后，得到的矩形$MFCN$是否相似于原矩形$ABCD$？请说明理由。
如图，已知将长为$1\ m$的矩形$ABCD$裁去一个正方形$ABFE$后，得到的矩形$FCDE$与原矩形相似。
（1）求矩形$ABCD$的宽；
（2）再将矩形$FCDE$裁去一个正方形后，得到的矩形$MFCN$是否相似于原矩形$ABCD$？请说明理由。
答案：（1）设矩形$ABCD$的宽为$x$，$\because$矩形$ABCD$相似于矩形$FCDE$，$\therefore \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{FC}{CD}$，即$\dfrac{x}{1}=\dfrac{1-x}{x}$，解得$x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$. （2）相似，理由：$\because AB=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，$BC=1$，$\therefore MF=\sqrt{5}-2$，$FC=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\because \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\dfrac{MF}{FC}=\dfrac{\sqrt{5}-2}{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{MF}{FC}$，$\therefore$矩形$MFCN$与原矩形$ABCD$相似.
解析：
（1）设矩形$ABCD$的宽为$x\ \mathrm{m}$，则$AB=x\ \mathrm{m}$，$BC=1\ \mathrm{m}$，$FC=BC-BF=1 - x\ \mathrm{m}$，$CD=x\ \mathrm{m}$。
因为矩形$ABCD$与矩形$FCDE$相似，所以$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{FC}{CD}$，即$\dfrac{x}{1}=\dfrac{1 - x}{x}$。
整理得$x^2 + x - 1 = 0$，解得$x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$，负值舍去，故$x = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$。
（2）相似。理由如下：
由（1）知$AB = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\ \mathrm{m}$，$BC = 1\ \mathrm{m}$，则$FC = 1 - x = 1 - \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}\ \mathrm{m}$，$CD = x = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\ \mathrm{m}$。
裁去正方形后，$MF = CD - FC = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} - 2\ \mathrm{m}$。
$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}}{1} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$，$\dfrac{MF}{FC} = \dfrac{\sqrt{5} - 2}{\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}} = \dfrac{(\sqrt{5} - 2) × 2}{3 - \sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5} - 4}{3 - \sqrt{5}} = \dfrac{(2\sqrt{5} - 4)(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \dfrac{6\sqrt{5} + 10 - 12 - 4\sqrt{5}}{9 - 5} = \dfrac{2\sqrt{5} - 2}{4} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$。
因为$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{MF}{FC}$，且矩形各角为直角，所以矩形$MFCN$与原矩形$ABCD$相似。
因为矩形$ABCD$与矩形$FCDE$相似，所以$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{FC}{CD}$，即$\dfrac{x}{1}=\dfrac{1 - x}{x}$。
整理得$x^2 + x - 1 = 0$，解得$x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$，负值舍去，故$x = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$。
（2）相似。理由如下：
由（1）知$AB = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\ \mathrm{m}$，$BC = 1\ \mathrm{m}$，则$FC = 1 - x = 1 - \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}\ \mathrm{m}$，$CD = x = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\ \mathrm{m}$。
裁去正方形后，$MF = CD - FC = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} - \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} - 2\ \mathrm{m}$。
$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}}{1} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$，$\dfrac{MF}{FC} = \dfrac{\sqrt{5} - 2}{\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}} = \dfrac{(\sqrt{5} - 2) × 2}{3 - \sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5} - 4}{3 - \sqrt{5}} = \dfrac{(2\sqrt{5} - 4)(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \dfrac{6\sqrt{5} + 10 - 12 - 4\sqrt{5}}{9 - 5} = \dfrac{2\sqrt{5} - 2}{4} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$。
因为$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{MF}{FC}$，且矩形各角为直角，所以矩形$MFCN$与原矩形$ABCD$相似。
1. 在$10$倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，保持不变的量是(
A.角
B.边长
C.周长
D.面积
A
)A.角
B.边长
C.周长
D.面积
答案：1. A.