自主探究
问题 如图，已知$△ ABC$相似于$△ ADE$，$AB = 15\ cm$，$BD = 9\ cm$，$BC = 10\ cm$，$∠ BAC = 58^{\circ}$，$∠ ABC = 45^{\circ}$。求$∠ ADE$和$∠ AED$的度数及$DE$的长。
名师指导
利用相似图形的对应边的比相等，对应角相等求解。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
问题 如图，已知$△ ABC$相似于$△ ADE$，$AB = 15\ cm$，$BD = 9\ cm$，$BC = 10\ cm$，$∠ BAC = 58^{\circ}$，$∠ ABC = 45^{\circ}$。求$∠ ADE$和$∠ AED$的度数及$DE$的长。
名师指导
利用相似图形的对应边的比相等，对应角相等求解。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案：解：
∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠ABC=45°，∠AED=∠ACB。
在△ABC中，∠BAC=58°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-58°-45°=77°，
∴∠AED=77°。
∵AB=15cm，BD=9cm，
∴AD=AB-BD=15-9=6cm。
∵△ABC∽△ADE，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，即$\frac{6}{15}=\frac{DE}{10}$，
解得DE=4cm。
综上，∠ADE=45°，∠AED=77°，DE=4cm。
∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠ABC=45°，∠AED=∠ACB。
在△ABC中，∠BAC=58°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-58°-45°=77°，
∴∠AED=77°。
∵AB=15cm，BD=9cm，
∴AD=AB-BD=15-9=6cm。
∵△ABC∽△ADE，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，即$\frac{6}{15}=\frac{DE}{10}$，
解得DE=4cm。
综上，∠ADE=45°，∠AED=77°，DE=4cm。
1. 下列说法中正确的是(
A.各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形
B.各边成比例的两个多边形是相似多边形
C.边数相同的两个多边形是相似多边形
D.边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形
D
)A.各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形
B.各边成比例的两个多边形是相似多边形
C.边数相同的两个多边形是相似多边形
D.边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形
答案：1. D.
2. 用打印机将如图所示的六边形放大$150\%$，关于放大后的六边形，下列说法错误的是(
A.$∠ B$的对应角也放大$150\%$
B.放大后内角和不变
C.各对应边放大的比例一样
D.周长也放大$150\%$
A
)A.$∠ B$的对应角也放大$150\%$
B.放大后内角和不变
C.各对应边放大的比例一样
D.周长也放大$150\%$
答案：2. A.
3. 下列各组图形中，一定相似的图形是(
A.有一个角是$80^{\circ}$的两个等腰三角形
B.两邻边之比相等的两个平行四边形
C.有一个角等于$60^{\circ}$的两个菱形
D.两个矩形
C
)A.有一个角是$80^{\circ}$的两个等腰三角形
B.两邻边之比相等的两个平行四边形
C.有一个角等于$60^{\circ}$的两个菱形
D.两个矩形
答案：3. C.
4. $Rt△ ABC$的两条直角边分别为$3\ cm$，$4\ cm$，与它相似的$Rt△ A'B'C'$的斜边为$20\ cm$，那么$Rt△ A'B'C'$的周长为(
A.$48\ cm$
B.$28\ cm$
C.$12\ cm$
D.$10\ cm$
A
)A.$48\ cm$
B.$28\ cm$
C.$12\ cm$
D.$10\ cm$
答案：4. A.
解析：
在$Rt△ABC$中，两条直角边分别为$3\ cm$，$4\ cm$，根据勾股定理，其斜边为$\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5\ cm$，则$Rt△ABC$的周长为$3 + 4 + 5=12\ cm$。
因为$Rt△ABC$与$Rt△A'B'C'$相似，相似比等于对应斜边的比，即$\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$。
设$Rt△A'B'C'$的周长为$C$，由于相似三角形周长比等于相似比，所以$\frac{12}{C}=\frac{1}{4}$，解得$C = 48\ cm$。
A
因为$Rt△ABC$与$Rt△A'B'C'$相似，相似比等于对应斜边的比，即$\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$。
设$Rt△A'B'C'$的周长为$C$，由于相似三角形周长比等于相似比，所以$\frac{12}{C}=\frac{1}{4}$，解得$C = 48\ cm$。
A
5. 如图，装裱一幅宽$40\ cm$、长$60\ cm$的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的左、右部分的宽都为$15\ cm$。设装裱上去的上、下部分的宽都为$x\ cm$，则$x$的值为(
A.$10$
B.$12$
C.$16$
D.$18$
A
)A.$10$
B.$12$
C.$16$
D.$18$
答案：5. A.
解析：
解：原矩形画宽为$40\ \mathrm{cm}$，长为$60\ \mathrm{cm}$。装裱后大矩形的宽为$(40 + 2x)\ \mathrm{cm}$，长为$(60 + 15×2) = 90\ \mathrm{cm}$。
因为大矩形与原矩形相似，所以对应边成比例，即$\frac{40 + 2x}{40} = \frac{90}{60}$。
解得$40 + 2x = 60$，$2x = 20$，$x = 10$。
A
因为大矩形与原矩形相似，所以对应边成比例，即$\frac{40 + 2x}{40} = \frac{90}{60}$。
解得$40 + 2x = 60$，$2x = 20$，$x = 10$。
A