1. 在大小为 $4×4$ 的正方形网格中，下列四个选项中的三角形，与左图中的三角形相似的是(
B
)答案：1. B
解析：
设网格中小正方形边长为1。
左图三角形三边长：
水平直角边：2
垂直直角边：1
斜边：$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
三边长之比为$1:2:\sqrt{5}$
选项B三角形三边长：
水平直角边：4
垂直直角边：2
斜边：$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$
三边长之比为$2:4:2\sqrt{5}=1:2:\sqrt{5}$
两三角形三边对应成比例，相似。
B
左图三角形三边长：
水平直角边：2
垂直直角边：1
斜边：$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
三边长之比为$1:2:\sqrt{5}$
选项B三角形三边长：
水平直角边：4
垂直直角边：2
斜边：$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$
三边长之比为$2:4:2\sqrt{5}=1:2:\sqrt{5}$
两三角形三边对应成比例，相似。
B
2. 在 $△ ABC$ 与 $△ A'B'C'$ 中，如果 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}=\frac{2}{3}$，且 $∠ A=∠ A'$，$∠ B=∠ B'$，$∠ C=∠ C'$，那么
△ABC
∽△A'B'C'
，$△ ABC$ 与 $△ A'B'C'$ 的相似比 $k = $$\frac{2}{3}$
，而 $△ A'B'C'$ 与 $△ ABC$ 的相似比 $k'=$$\frac{3}{2}$
。答案：2. △ABC;△A'B'C';$\frac{2}{3}$;$\frac{3}{2}$.
3. 如图，若 $AE// CF// DG$，$AB:BC:CD = 1:2:3$，$BG = 30$，则 $BE=$
6
，$FG=$18
。答案：3. 6;18.
解析：
证明：因为 $AE // CF // DG$，
所以 $\frac{AB}{BD} = \frac{BE}{BG}$，$\frac{CD}{AD} = \frac{FG}{BG}$。
设 $AB = k$，则 $BC = 2k$，$CD = 3k$，
所以 $BD = BC + CD = 5k$，$AD = AB + BC + CD = 6k$。
因为 $BG = 30$，
所以 $\frac{k}{5k} = \frac{BE}{30}$，解得 $BE = 6$；
$\frac{3k}{6k} = \frac{FG}{30}$，解得 $FG = 15$。
1
所以 $\frac{AB}{BD} = \frac{BE}{BG}$，$\frac{CD}{AD} = \frac{FG}{BG}$。
设 $AB = k$，则 $BC = 2k$，$CD = 3k$，
所以 $BD = BC + CD = 5k$，$AD = AB + BC + CD = 6k$。
因为 $BG = 30$，
所以 $\frac{k}{5k} = \frac{BE}{30}$，解得 $BE = 6$；
$\frac{3k}{6k} = \frac{FG}{30}$，解得 $FG = 15$。
1
4. 如图，已知 $DE// GF// BC$。
(1)图中有
(2)若 $D$，$G$ 是 $AB$ 的三等分点，则 $△ ADE$ 与 $△ ABC$ 的相似比为
(1)图中有
3
对相似三角形，与 $△ ABC$ 相似的三角形有2
个；(2)若 $D$，$G$ 是 $AB$ 的三等分点，则 $△ ADE$ 与 $△ ABC$ 的相似比为
1:3
，$△ AGF$ 与 $△ ABC$ 的相似比为2:3
。答案：4.（1）3:2；（2）1:3:2:3.
5. 已知 $△ ABC∽△ DEF$，$∠ A = 70^{\circ}$，$∠ E = 40^{\circ}$，则 $∠ C=$
70°
。答案：5. 70°.
解析：
∵△ABC∽△DEF，
∴∠B=∠E=40°，
∵∠A=70°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-40°=70°。
70°
6. 如图，平行于 $BC$ 的直线 $DE$ 把 $△ ABC$ 分成的两部分面积相等，则 $\frac{AD}{AB}=$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
。答案：6. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
解析：
解：因为 $DE // BC$，所以 $△ ADE ∼ △ ABC$。
设 $\frac{AD}{AB} = k$，则相似比为 $k$。
因为相似三角形面积比等于相似比的平方，所以 $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}} = k^2$。
由于 $DE$ 把 $△ ABC$ 分成面积相等的两部分，所以 $S_{△ ADE} = S_1 = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，即 $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}} = \frac{1}{2}$。
因此，$k^2 = \frac{1}{2}$，解得 $k = \frac{\sqrt{2}}{2}$（负值舍去）。
故 $\frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
设 $\frac{AD}{AB} = k$，则相似比为 $k$。
因为相似三角形面积比等于相似比的平方，所以 $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}} = k^2$。
由于 $DE$ 把 $△ ABC$ 分成面积相等的两部分，所以 $S_{△ ADE} = S_1 = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，即 $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}} = \frac{1}{2}$。
因此，$k^2 = \frac{1}{2}$，解得 $k = \frac{\sqrt{2}}{2}$（负值舍去）。
故 $\frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。