7. 如图，已知点 $D$，$E$ 分别在 $AB$，$AC$ 上，$∠ ADE=∠ C$，$△ ADE$ 与 $△ ABC$ 相似。
（1）指出这两个相似三角形的对应角，并用符号“∽”表示这两个三角形相似；
（2）若 $AE = 3$，$AB = 5$，$AD = 4$，$BC = 6$，求 $AC$ 和 $DE$。
（1）指出这两个相似三角形的对应角，并用符号“∽”表示这两个三角形相似；
（2）若 $AE = 3$，$AB = 5$，$AD = 4$，$BC = 6$，求 $AC$ 和 $DE$。
答案：7.（1）∠A和∠A,∠ADE和∠C,∠AED和∠B为对应角,△ADE∽△ACB；（2）$AC=\frac{20}{3}$,$DE=\frac{18}{5}$.
解析：
（1）∠A和∠A，∠ADE和∠C，∠AED和∠B为对应角，△ADE∽△ACB；
（2）
∵△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
∵AE=3，AB=5，AD=4，BC=6，
∴$\frac{4}{AC}=\frac{3}{5}$，解得$AC=\frac{20}{3}$，
$\frac{3}{5}=\frac{DE}{6}$，解得$DE=\frac{18}{5}$。
（2）
∵△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
∵AE=3，AB=5，AD=4，BC=6，
∴$\frac{4}{AC}=\frac{3}{5}$，解得$AC=\frac{20}{3}$，
$\frac{3}{5}=\frac{DE}{6}$，解得$DE=\frac{18}{5}$。
自主探究
问题 如图（1），在 $△ ABC$ 中，点 $D$，$E$ 分别是 $AB$，$AC$ 边的中点。$△ ADE$ 与 $△ ABC$ 相似吗？请说说你的理由。
变式1：如图（2），若还有 $F$ 是 $BC$ 边的中点，那么 $△ ECF$，$△ BDF$ 与 $△ ABC$ 相似吗？
变式2：$△ DEF$ 与 $△ ABC$ 相似吗？若相似，则 $△ DEF$ 与 $△ ABC$ 的相似比为多少？$△ ABC$ 与 $△ DEF$ 的相似比呢？
变式3：如图（3），在 $△ ABC$ 中，$D$，$E$ 分别是 $AB$，$AC$ 边上的点，且 $DE// BC$，$AD = 1\ cm$，$BD = 2\ cm$，$DE = 0.8\ cm$，求 $BC$ 的长。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
问题 如图（1），在 $△ ABC$ 中，点 $D$，$E$ 分别是 $AB$，$AC$ 边的中点。$△ ADE$ 与 $△ ABC$ 相似吗？请说说你的理由。
变式1：如图（2），若还有 $F$ 是 $BC$ 边的中点，那么 $△ ECF$，$△ BDF$ 与 $△ ABC$ 相似吗？
变式2：$△ DEF$ 与 $△ ABC$ 相似吗？若相似，则 $△ DEF$ 与 $△ ABC$ 的相似比为多少？$△ ABC$ 与 $△ DEF$ 的相似比呢？
变式3：如图（3），在 $△ ABC$ 中，$D$，$E$ 分别是 $AB$，$AC$ 边上的点，且 $DE// BC$，$AD = 1\ cm$，$BD = 2\ cm$，$DE = 0.8\ cm$，求 $BC$ 的长。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案：自主探究：△ADE与△ABC相似。理由：∵D，E分别是AB，AC中点，∴AD=1/2AB，AE=1/2AC，DE//BC（中位线定理）。∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C。∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
变式1：△ECF与△ABC相似，△BDF与△ABC相似。理由：∵E，F分别是AC，BC中点，∴EC=1/2AC，FC=1/2BC，∠C=∠C。∴△ECF∽△ACB（两边成比例且夹角相等），即△ECF∽△ABC。同理，D，F分别是AB，BC中点，BD=1/2AB，BF=1/2BC，∠B=∠B。∴△BDF∽△BAC（两边成比例且夹角相等），即△BDF∽△ABC。
变式2：△DEF与△ABC相似。相似比为1:2；△ABC与△DEF的相似比为2:1。理由：D，E，F为中点，DE=1/2BC，DF=1/2AC，EF=1/2AB。∴DE/BC=DF/AC=EF/AB=1/2。∴△DEF∽△ABC（三边成比例的两个三角形相似），相似比1:2；△ABC与△DEF相似比2:1。
变式3：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的三角形与原三角形相似）。AD=1cm，BD=2cm，∴AB=AD+BD=3cm。∴AD/AB=1/3。∵DE/BC=AD/AB，DE=0.8cm，∴0.8/BC=1/3，∴BC=2.4cm。
变式1：△ECF与△ABC相似，△BDF与△ABC相似。理由：∵E，F分别是AC，BC中点，∴EC=1/2AC，FC=1/2BC，∠C=∠C。∴△ECF∽△ACB（两边成比例且夹角相等），即△ECF∽△ABC。同理，D，F分别是AB，BC中点，BD=1/2AB，BF=1/2BC，∠B=∠B。∴△BDF∽△BAC（两边成比例且夹角相等），即△BDF∽△ABC。
变式2：△DEF与△ABC相似。相似比为1:2；△ABC与△DEF的相似比为2:1。理由：D，E，F为中点，DE=1/2BC，DF=1/2AC，EF=1/2AB。∴DE/BC=DF/AC=EF/AB=1/2。∴△DEF∽△ABC（三边成比例的两个三角形相似），相似比1:2；△ABC与△DEF相似比2:1。
变式3：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的三角形与原三角形相似）。AD=1cm，BD=2cm，∴AB=AD+BD=3cm。∴AD/AB=1/3。∵DE/BC=AD/AB，DE=0.8cm，∴0.8/BC=1/3，∴BC=2.4cm。