1. 如图，$DE// FG// BC$，若 $DB = 4FB$，则 $EG$ 与 $GC$ 的关系是(
A.$EG = 4GC$
B.$EG = 3GC$
C.$EG=\frac{5}{2}GC$
D.$EG = 2GC$
B
)A.$EG = 4GC$
B.$EG = 3GC$
C.$EG=\frac{5}{2}GC$
D.$EG = 2GC$
答案：1. B
解析：
证明：设 $FB = x$，则 $DB = 4FB = 4x$，
$\therefore DF = DB - FB = 4x - x = 3x$。
$\because DE // FG // BC$，
$\therefore \frac{EG}{GC} = \frac{DF}{FB} = \frac{3x}{x} = 3$，
$\therefore EG = 3GC$。
答案：B
$\therefore DF = DB - FB = 4x - x = 3x$。
$\because DE // FG // BC$，
$\therefore \frac{EG}{GC} = \frac{DF}{FB} = \frac{3x}{x} = 3$，
$\therefore EG = 3GC$。
答案：B
2. 如图，$AB$，$CD$ 相交于点 $E$，且 $AC// EF// DB$，点 $C$，$F$，$B$ 在同一条直线上。已知 $AC = p$，$EF = r$，$DB = q$，则 $p$，$q$，$r$ 之间满足的数量关系式是(
A.$\frac{1}{r}+\frac{1}{q}=\frac{1}{p}$
B.$\frac{1}{p}+\frac{1}{r}=\frac{2}{q}$
C.$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}$
D.$\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=\frac{2}{p}$
C
)A.$\frac{1}{r}+\frac{1}{q}=\frac{1}{p}$
B.$\frac{1}{p}+\frac{1}{r}=\frac{2}{q}$
C.$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}$
D.$\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=\frac{2}{p}$
答案：2. C
解析：
证明：
∵ $AC // EF$，
∴ $\frac{EF}{AC} = \frac{BF}{BC}$，即 $\frac{r}{p} = \frac{BF}{BC}$ ①.
∵ $EF // DB$，
∴ $\frac{EF}{DB} = \frac{CF}{BC}$，即 $\frac{r}{q} = \frac{CF}{BC}$ ②.
① + ②得：$\frac{r}{p} + \frac{r}{q} = \frac{BF + CF}{BC} = \frac{BC}{BC} = 1$.
两边同除以 $r$，得 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r}$.
结论：$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r}$，选 C.
∵ $AC // EF$，
∴ $\frac{EF}{AC} = \frac{BF}{BC}$，即 $\frac{r}{p} = \frac{BF}{BC}$ ①.
∵ $EF // DB$，
∴ $\frac{EF}{DB} = \frac{CF}{BC}$，即 $\frac{r}{q} = \frac{CF}{BC}$ ②.
① + ②得：$\frac{r}{p} + \frac{r}{q} = \frac{BF + CF}{BC} = \frac{BC}{BC} = 1$.
两边同除以 $r$，得 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r}$.
结论：$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r}$，选 C.
3. 如图，已知在 $△ ABC$ 中，$DE// BC$，$MN// AB$，则图中与 $△ ABC$ 相似的三角形有(
A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
C
)A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
答案：3. C
解析：
证明：
∵ $DE // BC$，
∴ $△ ADE ∼ △ ABC$（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应三角形与原三角形相似）。
∵ $MN // AB$，
∴ $△ NMC ∼ △ ABC$（同理）。
∵ $DE // BC$ 且 $MN // AB$，
∴ 四边形 $DBNG$ 是平行四边形，
∴ $∠ DGM = ∠ B$，$∠ GDM = ∠ A$，
∴ $△ DGM ∼ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
综上，与 $△ ABC$ 相似的三角形有 $△ ADE$、$△ NMC$、$△ DGM$，共 3 个。
答案：C
∵ $DE // BC$，
∴ $△ ADE ∼ △ ABC$（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应三角形与原三角形相似）。
∵ $MN // AB$，
∴ $△ NMC ∼ △ ABC$（同理）。
∵ $DE // BC$ 且 $MN // AB$，
∴ 四边形 $DBNG$ 是平行四边形，
∴ $∠ DGM = ∠ B$，$∠ GDM = ∠ A$，
∴ $△ DGM ∼ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
综上，与 $△ ABC$ 相似的三角形有 $△ ADE$、$△ NMC$、$△ DGM$，共 3 个。
答案：C
4. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $BC$ 的中点，连接 $AE$ 交 $BD$ 于点 $F$，若 $BF = 2$，则 $BD$ 的长度是(
A.$6$
B.$5$
C.$2\sqrt{6}$
D.$2\sqrt{5}$
A
)A.$6$
B.$5$
C.$2\sqrt{6}$
D.$2\sqrt{5}$
答案：4. A
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD // BC$，$AD = BC$。
∵点$E$是$BC$的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$。
∵$AD // BC$，
∴$△ AFD ∼ △ EFB$。
∴$\frac{BF}{FD}=\frac{BE}{AD}=\frac{1}{2}$。
∵$BF = 2$，
∴$FD = 2BF = 4$。
∴$BD=BF + FD=2 + 4=6$。
答案：A
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD // BC$，$AD = BC$。
∵点$E$是$BC$的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$。
∵$AD // BC$，
∴$△ AFD ∼ △ EFB$。
∴$\frac{BF}{FD}=\frac{BE}{AD}=\frac{1}{2}$。
∵$BF = 2$，
∴$FD = 2BF = 4$。
∴$BD=BF + FD=2 + 4=6$。
答案：A
5. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $AD$ 上的一点，连接 $CE$ 并延长交 $BA$ 的延长线于点 $F$，$△ DEC$ 和 $△ BCF$ 相似吗？为什么？
答案：5. △DEC和△BCF相似.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,BC//AD,
∴△CDE∽△FAE,△FAE∽△FBC,
∴△DEC∽△BCF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,BC//AD,
∴△CDE∽△FAE,△FAE∽△FBC,
∴△DEC∽△BCF.
6. 如图，在 $△ ABC$ 中，$D$，$E$ 分别是 $BC$，$AB$ 的中点，求证：$\frac{FE}{FC}=\frac{FD}{FA}=\frac{1}{2}$。
答案：6. 连接ED，再利用中位线定理得到DE//AC,且$\frac{DE}{AC}=\frac{1}{2}$,
∴△DEF∽△ACF,
∴$\frac{FE}{FC}=\frac{FD}{FA}=\frac{DE}{AC}=\frac{1}{2}$.
∴△DEF∽△ACF,
∴$\frac{FE}{FC}=\frac{FD}{FA}=\frac{DE}{AC}=\frac{1}{2}$.