7. 如图，在 $△ ABC$ 中，$DE// BC$，$EF// CD$。求证：$\frac{AF}{AD}=\frac{AD}{AB}$。
答案：$\frac{AF}{AD}=\frac{AD}{AB}$
解析：
∵ $DE // BC$，
∴ $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$（平行线分线段成比例定理）。
∵ $EF // CD$，
∴ $\frac{AF}{AD} = \frac{AE}{AC}$（平行线分线段成比例定理）。
∴ $\frac{AF}{AD} = \frac{AD}{AB}$。
8. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = 3AD$，$DE// BC$，$EF// AB$，若 $AB = 9$，$DE = 2$，求线段 $FC$ 的长。
答案：8. 4.
解析：
解：
∵ $AB = 3AD$，$AB = 9$，
∴ $AD = \frac{1}{3}AB = 3$，$DB = AB - AD = 6$。
∵ $DE // BC$，
∴ $△ ADE ∼ △ ABC$，
∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}$。
∵ $DE = 2$，
∴ $BC = 3DE = 6$。
∵ $EF // AB$，
∴ 四边形 $DBFE$ 是平行四边形，
∴ $BF = DE = 2$。
∴ $FC = BC - BF = 6 - 2 = 4$。
4
∵ $AB = 3AD$，$AB = 9$，
∴ $AD = \frac{1}{3}AB = 3$，$DB = AB - AD = 6$。
∵ $DE // BC$，
∴ $△ ADE ∼ △ ABC$，
∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}$。
∵ $DE = 2$，
∴ $BC = 3DE = 6$。
∵ $EF // AB$，
∴ 四边形 $DBFE$ 是平行四边形，
∴ $BF = DE = 2$。
∴ $FC = BC - BF = 6 - 2 = 4$。
4
自主拓展
综合实践：如图，$△ ABC$ 是等边三角形，点 $D$ 是射线 $AC$ 上一个动点，连接 $BD$，将 $BD$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到 $BE$，连接 $CE$，$DE$。
观察发现：(1)$∠ BDE=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$，$∠ BCE=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$。
迁移探究：(2)当点 $D$ 在线段 $AC$ 上时，请判断线段 $AB$，$CD$，$CE$ 这三条线段之间的数量关系，并说明理由。
拓展应用：(3)若点 $D$ 在射线 $AC$ 上时，直线 $BC$ 和直线 $DE$ 相交于点 $F$，且 $CE = 3CD$，请直接写出 $\frac{BC}{CF}$ 的值。
综合实践：如图，$△ ABC$ 是等边三角形，点 $D$ 是射线 $AC$ 上一个动点，连接 $BD$，将 $BD$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到 $BE$，连接 $CE$，$DE$。
观察发现：(1)$∠ BDE=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$，$∠ BCE=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$。
迁移探究：(2)当点 $D$ 在线段 $AC$ 上时，请判断线段 $AB$，$CD$，$CE$ 这三条线段之间的数量关系，并说明理由。
拓展应用：(3)若点 $D$ 在射线 $AC$ 上时，直线 $BC$ 和直线 $DE$ 相交于点 $F$，且 $CE = 3CD$，请直接写出 $\frac{BC}{CF}$ 的值。
答案：1. （1）
因为$BD = BE$，$∠ DBE=60^{\circ}$，根据等边三角形的判定（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），所以$△ BDE$是等边三角形。
则$∠ BDE = 60^{\circ}$。
因为$△ ABC$是等边三角形，所以$AB = BC$，$∠ ABC=∠ DBE = 60^{\circ}$，那么$∠ ABD=∠ CBE$。
又因为$BD = BE$，根据$SAS$（边角边）判定$△ ABD≌△ CBE$。
所以$∠ BCE=∠ A$，而$△ ABC$是等边三角形，$∠ A = 60^{\circ}$，故$∠ BCE = 60^{\circ}$。
答案：$60$；$60$。
2. （2）
解：$AB = CD + CE$。
理由：
因为$△ ABC$是等边三角形，所以$AB = AC=BC$，$∠ ABC=∠ DBE = 60^{\circ}$。
所以$∠ ABC-∠ DBC=∠ DBE-∠ DBC$，即$∠ ABD=∠ CBE$。
又因为$BD = BE$，$AB = BC$，根据$SAS$（边角边）可得$△ ABD≌△ CBE$。
所以$AD = CE$。
因为$AC=AD + CD$，$AB = AC$，所以$AB = CE + CD$。
因为$BD = BE$，$∠ DBE=60^{\circ}$，根据等边三角形的判定（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），所以$△ BDE$是等边三角形。
则$∠ BDE = 60^{\circ}$。
因为$△ ABC$是等边三角形，所以$AB = BC$，$∠ ABC=∠ DBE = 60^{\circ}$，那么$∠ ABD=∠ CBE$。
又因为$BD = BE$，根据$SAS$（边角边）判定$△ ABD≌△ CBE$。
所以$∠ BCE=∠ A$，而$△ ABC$是等边三角形，$∠ A = 60^{\circ}$，故$∠ BCE = 60^{\circ}$。
答案：$60$；$60$。
2. （2）
解：$AB = CD + CE$。
理由：
因为$△ ABC$是等边三角形，所以$AB = AC=BC$，$∠ ABC=∠ DBE = 60^{\circ}$。
所以$∠ ABC-∠ DBC=∠ DBE-∠ DBC$，即$∠ ABD=∠ CBE$。
又因为$BD = BE$，$AB = BC$，根据$SAS$（边角边）可得$△ ABD≌△ CBE$。
所以$AD = CE$。
因为$AC=AD + CD$，$AB = AC$，所以$AB = CE + CD$。
（3）$\frac{16}{3}$或$\frac{4}{3}$.
1. 已知 $△ ABC$ 的三边长分别为 $4\ cm$，$5\ cm$，$6\ cm$，$△ A'B'C'$ 的一边长为 $8\ cm$。若 $△ ABC∽△ A'B'C'$，则 $△ A'B'C'$ 的另两边长可以分别是(
A.$4\ cm$，$6\ cm$
B.$8\ cm$，$10\ cm$
C.$10\ cm$，$12\ cm$
D.$12\ cm$，$14\ cm$
C
)A.$4\ cm$，$6\ cm$
B.$8\ cm$，$10\ cm$
C.$10\ cm$，$12\ cm$
D.$12\ cm$，$14\ cm$
答案：1. C.
解析：
∵△ABC∽△A'B'C'，△ABC的三边长分别为4cm，5cm，6cm，△A'B'C'的一边长为8cm。
当△A'B'C'中8cm的边与△ABC中4cm的边对应时，相似比为8:4=2:1，另两边长分别为5×2=10cm，6×2=12cm；
当△A'B'C'中8cm的边与△ABC中5cm的边对应时，相似比为8:5，另两边长分别为4×(8/5)=32/5cm，6×(8/5)=48/5cm；
当△A'B'C'中8cm的边与△ABC中6cm的边对应时，相似比为8:6=4:3，另两边长分别为4×(4/3)=16/3cm，5×(4/3)=20/3cm。
选项中只有10cm，12cm符合。
C
2. 有两个顶角相等的等腰三角形框架，其中一个三角形框架的腰长为 $6$，底边长为 $4$，另一个三角形框架的底边长为 $2$，则这个三角形框架的腰长为(
A.$6$
B.$4$
C.$3$
D.$2$
C
)A.$6$
B.$4$
C.$3$
D.$2$
答案：2. C.
解析：
两个等腰三角形顶角相等，故它们相似。
设另一个三角形的腰长为$x$。
已知一个三角形腰长为$6$，底边长为$4$；另一个三角形底边长为$2$。
相似三角形对应边成比例，可得$\frac{6}{x}=\frac{4}{2}$，解得$x = 3$。
C
设另一个三角形的腰长为$x$。
已知一个三角形腰长为$6$，底边长为$4$；另一个三角形底边长为$2$。
相似三角形对应边成比例，可得$\frac{6}{x}=\frac{4}{2}$，解得$x = 3$。
C