3. 在 $△ ABC$ 与 $△ DEF$ 中，若 $AB = 7$，$BC = 5$，$CA = 3$，$DE=\frac{7}{3}$，$EF = 1$，$DF=\frac{5}{3}$，则(
A.$∠ A=∠ D$
B.$∠ A=∠ E$
C.$∠ A=∠ F$
D.$∠ B=∠ F$
B
)A.$∠ A=∠ D$
B.$∠ A=∠ E$
C.$∠ A=∠ F$
D.$∠ B=∠ F$
答案：3. B.
解析：
在$△ ABC$与$△ DEF$中，
$AB = 7$，$BC = 5$，$CA = 3$，$DE=\frac{7}{3}$，$EF = 1$，$DF=\frac{5}{3}$。
计算对应边的比值：
$\frac{CA}{EF}=\frac{3}{1}=3$，
$\frac{BC}{DF}=\frac{5}{\frac{5}{3}}=3$，
$\frac{AB}{DE}=\frac{7}{\frac{7}{3}}=3$。
所以$\frac{CA}{EF}=\frac{BC}{DF}=\frac{AB}{DE}=3$，
故$△ ABC ∼ △ EDF$（三边成比例的两个三角形相似）。
因此，对应角相等，即$∠ A = ∠ E$。
B
$AB = 7$，$BC = 5$，$CA = 3$，$DE=\frac{7}{3}$，$EF = 1$，$DF=\frac{5}{3}$。
计算对应边的比值：
$\frac{CA}{EF}=\frac{3}{1}=3$，
$\frac{BC}{DF}=\frac{5}{\frac{5}{3}}=3$，
$\frac{AB}{DE}=\frac{7}{\frac{7}{3}}=3$。
所以$\frac{CA}{EF}=\frac{BC}{DF}=\frac{AB}{DE}=3$，
故$△ ABC ∼ △ EDF$（三边成比例的两个三角形相似）。
因此，对应角相等，即$∠ A = ∠ E$。
B
4. 如图，已知 $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，$∠ BAD = 20^{\circ}$，则 $∠ CAE$ 的度数为
20°
。答案：4. 20°.
解析：
证明：因为$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，所以$△ ABC ∼ △ ADE$。
所以$∠ BAC = ∠ DAE$。
所以$∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即$∠ BAD = ∠ CAE$。
因为$∠ BAD = 20^{\circ}$，所以$∠ CAE = 20^{\circ}$。
20°
所以$∠ BAC = ∠ DAE$。
所以$∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即$∠ BAD = ∠ CAE$。
因为$∠ BAD = 20^{\circ}$，所以$∠ CAE = 20^{\circ}$。
20°
自主探究
如图，点 $P$ 是菱形 $ABCD$ 对角线 $AC$ 上的一点，连接 $DP$，并延长 $DP$ 交边 $AB$ 于点 $E$，连接 $BP$，并延长 $BP$ 交边 $AD$ 于点 $F$，交 $CD$ 的延长线于点 $G$。
（1）求证：$△ APB≌△ APD$；
（2）已知 $DF:FA = 1:2$，设线段 $DP$ 的长为 $x$，线段 $PF$ 的长为 $y$。
① 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式；
② 当 $x = 6$ 时，求线段 $FG$ 的长。
名师指导
（1）由菱形性质可知 $AD = AB$，$∠ DAP=∠ BAP$，则全等可证。
（2）① 易证 $△ AFP∽△ CBP$，则 $\frac{FP}{BP}=\frac{AF}{CB}$，由 $DF:FA = 1:2$，可得 $AF:CB = 2:3$，再由（1）可得 $DP = BP$，则可确定 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式。② 由 $x = 6$，可得 $BP$，$EP$ 及 $FP$ 的长度，进而得出 $FB$ 的长度，再由 $DC// AB$，可得 $\frac{GF}{FB}=\frac{DF}{AF}$，即可求 $FG$ 的长。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
如图，点 $P$ 是菱形 $ABCD$ 对角线 $AC$ 上的一点，连接 $DP$，并延长 $DP$ 交边 $AB$ 于点 $E$，连接 $BP$，并延长 $BP$ 交边 $AD$ 于点 $F$，交 $CD$ 的延长线于点 $G$。
（1）求证：$△ APB≌△ APD$；
（2）已知 $DF:FA = 1:2$，设线段 $DP$ 的长为 $x$，线段 $PF$ 的长为 $y$。
① 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式；
② 当 $x = 6$ 时，求线段 $FG$ 的长。
名师指导
（1）由菱形性质可知 $AD = AB$，$∠ DAP=∠ BAP$，则全等可证。
（2）① 易证 $△ AFP∽△ CBP$，则 $\frac{FP}{BP}=\frac{AF}{CB}$，由 $DF:FA = 1:2$，可得 $AF:CB = 2:3$，再由（1）可得 $DP = BP$，则可确定 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式。② 由 $x = 6$，可得 $BP$，$EP$ 及 $FP$ 的长度，进而得出 $FB$ 的长度，再由 $DC// AB$，可得 $\frac{GF}{FB}=\frac{DF}{AF}$，即可求 $FG$ 的长。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠DAP=∠BAP。在△APB和△APD中，$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ ∠ BAP=∠ DAP\\ AP=AP\end{array} $，∴△APB≌△APD（SAS）。
（2）①∵DF:FA=1:2，设DF=k，FA=2k，则AD=3k。∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC=3k，AD//BC。∴∠AFP=∠CBP，∠FAP=∠BCP，∴△AFP∽△CBP。∴$\frac{FP}{BP}=\frac{AF}{CB}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$，即$\frac{y}{BP}=\frac{2}{3}$，∴BP=$\frac{3}{2}y$。由（1）知△APB≌△APD，∴DP=BP=x，∴x=$\frac{3}{2}y$，∴y=$\frac{2}{3}x$。
②当x=6时，DP=6，∴BP=6，y=$\frac{2}{3}×6=4$，即PF=4。∴FB=FP+PB=4+6=10。∵DC//AB，∴△GFD∽△BFA。∴$\frac{GF}{FB}=\frac{DF}{AF}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{GF}{10}=\frac{1}{2}$，∴GF=5，即FG=5。
（2）①∵DF:FA=1:2，设DF=k，FA=2k，则AD=3k。∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC=3k，AD//BC。∴∠AFP=∠CBP，∠FAP=∠BCP，∴△AFP∽△CBP。∴$\frac{FP}{BP}=\frac{AF}{CB}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$，即$\frac{y}{BP}=\frac{2}{3}$，∴BP=$\frac{3}{2}y$。由（1）知△APB≌△APD，∴DP=BP=x，∴x=$\frac{3}{2}y$，∴y=$\frac{2}{3}x$。
②当x=6时，DP=6，∴BP=6，y=$\frac{2}{3}×6=4$，即PF=4。∴FB=FP+PB=4+6=10。∵DC//AB，∴△GFD∽△BFA。∴$\frac{GF}{FB}=\frac{DF}{AF}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{GF}{10}=\frac{1}{2}$，∴GF=5，即FG=5。
1. 如果三角形的每条边都扩大为原来的 $6$ 倍，那么三角形的每个角(
A.都扩大为原来的 $6$ 倍
B.都扩大为原来的 $12$ 倍
C.都扩大为原来的 $36$ 倍
D.都与原来相等
D
)A.都扩大为原来的 $6$ 倍
B.都扩大为原来的 $12$ 倍
C.都扩大为原来的 $36$ 倍
D.都与原来相等
答案：1. D.