自主拓展
如图是由边长为 $1$ 的小正方形组成的 $4×4$ 网格，$A$，$B$，$C$ 三点均在格点上。
（1）分别求 $\frac{AB}{BC}$ 与 $\frac{BC}{AB}$ 的值；
（2）在网格上画 $△ ABE$，使 $A$，$B$，$E$ 三点组成的三角形与 $△ ABC$ 相似。（只需画出一个）
如图是由边长为 $1$ 的小正方形组成的 $4×4$ 网格，$A$，$B$，$C$ 三点均在格点上。
（1）分别求 $\frac{AB}{BC}$ 与 $\frac{BC}{AB}$ 的值；
（2）在网格上画 $△ ABE$，使 $A$，$B$，$E$ 三点组成的三角形与 $△ ABC$ 相似。（只需画出一个）
答案：
（1）
∵AB=2,$BC=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$,
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{BC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$;
（2）如图,△ABE即为所求.
（1）
∵AB=2,$BC=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$,
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{BC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$;
（2）如图,△ABE即为所求.
1. 在 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 中，已知下列条件：
(1)$∠ A = 45^{\circ}$，$AB = 12$，$AC = 15$，$∠ D = 45^{\circ}$，$DE = 16$，$DF = 20$；
(2)$AB = 12$，$BC = 15$，$AC = 24$，$DE = 20$，$EF = 25$，$DF = 40$；
(3)$∠ A = 47^{\circ}$，$AB = 15$，$AC = 20$，$∠ E = 47^{\circ}$，$DE = 28$，$EF = 21$。
能判定 $△ ABC$ 与 $△ DEF$ 相似的有(
A.$0$ 个
B.$1$ 个
C.$2$ 个
D.$3$ 个
(1)$∠ A = 45^{\circ}$，$AB = 12$，$AC = 15$，$∠ D = 45^{\circ}$，$DE = 16$，$DF = 20$；
(2)$AB = 12$，$BC = 15$，$AC = 24$，$DE = 20$，$EF = 25$，$DF = 40$；
(3)$∠ A = 47^{\circ}$，$AB = 15$，$AC = 20$，$∠ E = 47^{\circ}$，$DE = 28$，$EF = 21$。
能判定 $△ ABC$ 与 $△ DEF$ 相似的有(
D
)A.$0$ 个
B.$1$ 个
C.$2$ 个
D.$3$ 个
答案：1. D.
解析：
(1) $\because ∠ A = ∠ D = 45°$，$\frac{AB}{DE} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$，$\frac{AC}{DF} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$，$\therefore \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}$，$\therefore △ ABC ∼ △ DEF$；
(2) $\because \frac{AB}{DE} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$，$\frac{BC}{EF} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$，$\frac{AC}{DF} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$，$\therefore \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$，$\therefore △ ABC ∼ △ DEF$；
(3) $\because ∠ A = ∠ E = 47°$，$\frac{AB}{EF} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7}$，$\frac{AC}{DE} = \frac{20}{28} = \frac{5}{7}$，$\therefore \frac{AB}{EF} = \frac{AC}{DE}$，$\therefore △ ABC ∼ △ EFD$，即$△ ABC ∼ △ DEF$；
能判定相似的有3个。
D
(2) $\because \frac{AB}{DE} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$，$\frac{BC}{EF} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$，$\frac{AC}{DF} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$，$\therefore \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$，$\therefore △ ABC ∼ △ DEF$；
(3) $\because ∠ A = ∠ E = 47°$，$\frac{AB}{EF} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7}$，$\frac{AC}{DE} = \frac{20}{28} = \frac{5}{7}$，$\therefore \frac{AB}{EF} = \frac{AC}{DE}$，$\therefore △ ABC ∼ △ EFD$，即$△ ABC ∼ △ DEF$；
能判定相似的有3个。
D
2. 如图，下面图形及各个选项均是由边长为 $1$ 的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知 $△ ABC$ 相似(
A
)答案：2. A.
解析：
已知△ABC的三边长分别为：AB=$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，BC=1，AC=$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，三边之比为$\sqrt{2}:1:\sqrt{5}$。
选项A中三角形三边长分别为：$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，2，$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，三边之比为$\sqrt{5}:2:\sqrt{13}$，与△ABC三边对应成比例，相似。
A
选项A中三角形三边长分别为：$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，2，$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，三边之比为$\sqrt{5}:2:\sqrt{13}$，与△ABC三边对应成比例，相似。
A
3. 已知在 $△ ABC$ 中，$AB = 6$，$AC = 4$，点 $P$ 是 $AC$ 的中点，过 $P$ 的直线交 $AB$ 于点 $Q$，若想得到以 $A$，$P$，$Q$ 为顶点的三角形与 $△ ABC$ 相似，则 $AQ$ 的长为(
A.$3$
B.$3$ 或 $\frac{4}{3}$
C.$3$ 或 $\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
B
)A.$3$
B.$3$ 或 $\frac{4}{3}$
C.$3$ 或 $\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
答案：3. B.
解析：
∵点P是AC的中点，AC=4，
∴AP=2.
情况一：△APQ∽△ACB
则$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$，
$\frac{2}{4}=\frac{AQ}{6}$，
解得AQ=3.
情况二：△APQ∽△ABC
则$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，
$\frac{2}{6}=\frac{AQ}{4}$，
解得AQ=$\frac{4}{3}$.
综上，AQ的长为3或$\frac{4}{3}$.
B