4. 如图，在 $△ ABC$ 与 $△ ADE$ 中，$∠ BAC=∠ D$，要使 $△ ABC$ 与 $△ ADE$ 相似，还需满足下列条件中的(
A.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AE}$
B.$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{DE}$
C.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{DE}$
D.$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{AE}$
C
)A.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AE}$
B.$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{DE}$
C.$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{DE}$
D.$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{AE}$
答案：4. C.
解析：
证明：已知在$△ABC$与$△ADE$中，$∠BAC = ∠D$。要使两三角形相似，需满足两边对应成比例且夹角相等。
$∠BAC$的两边为$AB$、$AC$，$∠D$的两边为$AD$、$DE$。
当$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{DE}$时，满足两边对应成比例且夹角相等，故$△ABC ∽ △DEA$。
答案：C
$∠BAC$的两边为$AB$、$AC$，$∠D$的两边为$AD$、$DE$。
当$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{DE}$时，满足两边对应成比例且夹角相等，故$△ABC ∽ △DEA$。
答案：C
5. 如图，在 $△ ABC$ 中，$CD$ 是边 $AB$ 上的高，且 $AD· BD = CD^2$。
（1）求证：$△ ACD∽△ CBD$；
（2）求 $∠ ACB$ 的度数。
（1）求证：$△ ACD∽△ CBD$；
（2）求 $∠ ACB$ 的度数。
答案：5.（1）略；
（2）90°.
（2）90°.
自主探究
问题 在 $△ ABC$ 中，$∠ B = 28^{\circ}$，$AD$ 是 $BC$ 边上的高，并且 $AD^2 = BD· DC$，求 $∠ BCA$ 的度数。
名师指导
由于 $△ ABC$ 的形状未知，高 $AD$ 可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，因此需分两种情况讨论。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
问题 在 $△ ABC$ 中，$∠ B = 28^{\circ}$，$AD$ 是 $BC$ 边上的高，并且 $AD^2 = BD· DC$，求 $∠ BCA$ 的度数。
名师指导
由于 $△ ABC$ 的形状未知，高 $AD$ 可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，因此需分两种情况讨论。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案：情况一：AD在△ABC内部
∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。
∵AD²=BD·DC，∴AD/BD=DC/AD。
在Rt△ABD与Rt△CAD中，∠ADB=∠CDA=90°，AD/BD=DC/AD，
∴Rt△ABD∽Rt△CAD（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∴∠BAD=∠ACD（相似三角形对应角相等）。
∵∠ABD=28°，∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-28°=62°。
∴∠ACD=∠BAD=62°，即∠BCA=62°。
情况二：AD在△ABC外部
∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。
∵AD²=BD·DC，∴AD/BD=DC/AD。
在Rt△ABD与Rt△CAD中，∠ADB=∠CDA=90°，AD/BD=DC/AD，
∴Rt△ABD∽Rt△CAD。
∴∠CAD=∠ABD=28°（相似三角形对应角相等）。
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=28°，∴∠ACD=90°-28°=62°。
∵∠BCA+∠ACD=180°（平角定义），∴∠BCA=180°-62°=118°。
综上，∠BCA的度数为62°或118°。
∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。
∵AD²=BD·DC，∴AD/BD=DC/AD。
在Rt△ABD与Rt△CAD中，∠ADB=∠CDA=90°，AD/BD=DC/AD，
∴Rt△ABD∽Rt△CAD（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∴∠BAD=∠ACD（相似三角形对应角相等）。
∵∠ABD=28°，∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-28°=62°。
∴∠ACD=∠BAD=62°，即∠BCA=62°。
情况二：AD在△ABC外部
∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。
∵AD²=BD·DC，∴AD/BD=DC/AD。
在Rt△ABD与Rt△CAD中，∠ADB=∠CDA=90°，AD/BD=DC/AD，
∴Rt△ABD∽Rt△CAD。
∴∠CAD=∠ABD=28°（相似三角形对应角相等）。
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=28°，∴∠ACD=90°-28°=62°。
∵∠BCA+∠ACD=180°（平角定义），∴∠BCA=180°-62°=118°。
综上，∠BCA的度数为62°或118°。
1. 如图，点 $P$ 在 $△ ABC$ 的边 $AC$ 上，若要判定 $△ ABP∽△ ACB$，则下列添加的条件不正确的是(
A.$∠ ABP=∠ C$
B.$∠ APB=∠ ABC$
C.$\frac{AP}{AB}=\frac{AB}{AC}$
D.$\frac{AB}{BP}=\frac{AC}{AB}$
D
)A.$∠ ABP=∠ C$
B.$∠ APB=∠ ABC$
C.$\frac{AP}{AB}=\frac{AB}{AC}$
D.$\frac{AB}{BP}=\frac{AC}{AB}$
答案：1. D.
解析：
要判定$△ ABP ∼ △ ACB$，已知$∠ A$是公共角。
A. 若$∠ ABP = ∠ C$，则两角对应相等，$△ ABP ∼ △ ACB$，条件正确；
B. 若$∠ APB = ∠ ABC$，则两角对应相等，$△ ABP ∼ △ ACB$，条件正确；
C. 若$\frac{AP}{AB} = \frac{AB}{AC}$，则两边对应成比例且夹角相等，$△ ABP ∼ △ ACB$，条件正确；
D. $\frac{AB}{BP} = \frac{AC}{AB}$，无法得出$△ ABP ∼ △ ACB$，条件不正确。
答案：D
A. 若$∠ ABP = ∠ C$，则两角对应相等，$△ ABP ∼ △ ACB$，条件正确；
B. 若$∠ APB = ∠ ABC$，则两角对应相等，$△ ABP ∼ △ ACB$，条件正确；
C. 若$\frac{AP}{AB} = \frac{AB}{AC}$，则两边对应成比例且夹角相等，$△ ABP ∼ △ ACB$，条件正确；
D. $\frac{AB}{BP} = \frac{AC}{AB}$，无法得出$△ ABP ∼ △ ACB$，条件不正确。
答案：D