自主拓展
如图，在平面直角坐标系中，矩形 $OABC$ 的边 $OA$，$OC$ 在坐标轴上，对角线相交于点 $P$，点 $B$ 的坐标为 $(6,4)$，双曲线分别交矩形 $OABC$ 的边 $BC$，$AB$ 于 $D$，$E$ 两点，连接 $DE$，$OD$，$OE$。
（1）若双曲线 $y=\frac{k}{x}$ 经过点 $P$，求该双曲线的函数解析式；
（2）在（1）的条件下，求 $△ ODE$ 的面积；
（3）若点 $D$ 为线段 $BC$ 上除 $B$，$C$ 外的任意一点，求证：$DE// AC$。
如图，在平面直角坐标系中，矩形 $OABC$ 的边 $OA$，$OC$ 在坐标轴上，对角线相交于点 $P$，点 $B$ 的坐标为 $(6,4)$，双曲线分别交矩形 $OABC$ 的边 $BC$，$AB$ 于 $D$，$E$ 两点，连接 $DE$，$OD$，$OE$。
（1）若双曲线 $y=\frac{k}{x}$ 经过点 $P$，求该双曲线的函数解析式；
（2）在（1）的条件下，求 $△ ODE$ 的面积；
（3）若点 $D$ 为线段 $BC$ 上除 $B$，$C$ 外的任意一点，求证：$DE// AC$。
答案：（1）$y=\frac{6}{x}$；（2）$\frac{45}{4}$；（3）提示:通过证明△BDE∽△BCA,得∠BDE=∠BCA,可证得DE//AC.
解析：
（1）解：
∵矩形$OABC$中，点$B$坐标为$(6,4)$，对角线交于点$P$，
∴$P$为$OB$中点，$O(0,0)$，$B(6,4)$，
∴$P$点坐标为$(\frac{0+6}{2},\frac{0+4}{2})=(3,2)$，
∵双曲线$y = \frac{k}{x}$经过点$P$，
∴$2=\frac{k}{3}$，解得$k = 6$，
∴双曲线解析式为$y=\frac{6}{x}$。
（2）解：在矩形$OABC$中，$OA=6$，$OC=4$，
$BC$边在直线$y = 4$上，$AB$边在直线$x = 6$上，
对于$y=\frac{6}{x}$，当$y = 4$时，$4=\frac{6}{x}$，$x=\frac{3}{2}$，
∴$D(\frac{3}{2},4)$，
当$x = 6$时，$y=\frac{6}{6}=1$，
∴$E(6,1)$，
$S_{△ ODE}=S_{矩形OABC}-S_{△ OCD}-S_{△ OAE}-S_{△ BDE}$，
$S_{矩形OABC}=6×4 = 24$，
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×4 = 3$，
$S_{△ OAE}=\frac{1}{2}×6×1 = 3$，
$BD=6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，$BE=4 - 1=3$，
$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$，
$S_{△ ODE}=24 - 3 - 3-\frac{27}{4}=\frac{96}{4}-\frac{12}{4}-\frac{12}{4}-\frac{27}{4}=\frac{45}{4}$。
（3）证明：设$D(m,4)$，$E(6,n)$，
∵$D$，$E$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴$4m = k$，$6n = k$，即$4m=6n$，$n=\frac{2}{3}m$，
$BD=6 - m$，$BE=4 - n=4-\frac{2}{3}m=\frac{12 - 2m}{3}=\frac{2(6 - m)}{3}$，
$BC=6$，$BA=4$，
$\frac{BD}{BC}=\frac{6 - m}{6}$，$\frac{BE}{BA}=\frac{\frac{2(6 - m)}{3}}{4}=\frac{6 - m}{6}$，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BE}{BA}$，
又
∵$∠ DBE=∠ CBA$，
∴$△ BDE∼△ BCA$，
∴$∠ BDE=∠ BCA$，
∴$DE// AC$。
∵矩形$OABC$中，点$B$坐标为$(6,4)$，对角线交于点$P$，
∴$P$为$OB$中点，$O(0,0)$，$B(6,4)$，
∴$P$点坐标为$(\frac{0+6}{2},\frac{0+4}{2})=(3,2)$，
∵双曲线$y = \frac{k}{x}$经过点$P$，
∴$2=\frac{k}{3}$，解得$k = 6$，
∴双曲线解析式为$y=\frac{6}{x}$。
（2）解：在矩形$OABC$中，$OA=6$，$OC=4$，
$BC$边在直线$y = 4$上，$AB$边在直线$x = 6$上，
对于$y=\frac{6}{x}$，当$y = 4$时，$4=\frac{6}{x}$，$x=\frac{3}{2}$，
∴$D(\frac{3}{2},4)$，
当$x = 6$时，$y=\frac{6}{6}=1$，
∴$E(6,1)$，
$S_{△ ODE}=S_{矩形OABC}-S_{△ OCD}-S_{△ OAE}-S_{△ BDE}$，
$S_{矩形OABC}=6×4 = 24$，
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×4 = 3$，
$S_{△ OAE}=\frac{1}{2}×6×1 = 3$，
$BD=6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，$BE=4 - 1=3$，
$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$，
$S_{△ ODE}=24 - 3 - 3-\frac{27}{4}=\frac{96}{4}-\frac{12}{4}-\frac{12}{4}-\frac{27}{4}=\frac{45}{4}$。
（3）证明：设$D(m,4)$，$E(6,n)$，
∵$D$，$E$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴$4m = k$，$6n = k$，即$4m=6n$，$n=\frac{2}{3}m$，
$BD=6 - m$，$BE=4 - n=4-\frac{2}{3}m=\frac{12 - 2m}{3}=\frac{2(6 - m)}{3}$，
$BC=6$，$BA=4$，
$\frac{BD}{BC}=\frac{6 - m}{6}$，$\frac{BE}{BA}=\frac{\frac{2(6 - m)}{3}}{4}=\frac{6 - m}{6}$，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BE}{BA}$，
又
∵$∠ DBE=∠ CBA$，
∴$△ BDE∼△ BCA$，
∴$∠ BDE=∠ BCA$，
∴$DE// AC$。
1. 如图，$CD$ 是 $Rt△ ABC$ 斜边上的高，则图中共有相似三角形(
A.$0$ 对
B.$1$ 对
C.$2$ 对
D.$3$ 对
D
)A.$0$ 对
B.$1$ 对
C.$2$ 对
D.$3$ 对
答案：1. D.
解析：
解：
∵CD是Rt△ABC斜边上的高，
∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠A=∠A，∠B=∠B，
∴△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴图中共有3对相似三角形。
答案：D
∵CD是Rt△ABC斜边上的高，
∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠A=∠A，∠B=∠B，
∴△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴图中共有3对相似三角形。
答案：D
2. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ A = 78^{\circ}$，$AB = 4$，$AC = 6$。将 $△ ABC$ 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(
C
)答案：2. C.