1. 如图，已知 $∠ A=∠ CBD$，$AC = 4$，$CD = 2$，则 $BC$ 的长是(
A.$2$
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$
B
)A.$2$
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$
答案：1. B.
解析：
证明：
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{CD}$，
∵AC=4，CD=2，
∴$BC^2=AC · CD=4 × 2=8$，
∴$BC=2\sqrt{2}$（负值舍去）.
B
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{CD}$，
∵AC=4，CD=2，
∴$BC^2=AC · CD=4 × 2=8$，
∴$BC=2\sqrt{2}$（负值舍去）.
B
2. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AE$ 交 $BC$ 于点 $D$，$∠ C=∠ E$，$AD = 4$，$BC = 8$，$BD = 5$，$DC = 3$，则 $DE$ 的长为(
A.$\frac{20}{3}$
B.$\frac{15}{4}$
C.$\frac{16}{3}$
D.$\frac{17}{4}$
B
)A.$\frac{20}{3}$
B.$\frac{15}{4}$
C.$\frac{16}{3}$
D.$\frac{17}{4}$
答案：2. B.
解析：
证明：在$△ ADC$和$△ BDE$中，
$\because ∠ C = ∠ E$，$∠ ADC = ∠ BDE$，
$\therefore △ ADC ∼ △ BDE$。
$\therefore \frac{AD}{BD} = \frac{DC}{DE}$。
$\because AD = 4$，$BD = 5$，$DC = 3$，
$\therefore \frac{4}{5} = \frac{3}{DE}$，
解得$DE = \frac{15}{4}$。
$\frac{15}{4}$
$\because ∠ C = ∠ E$，$∠ ADC = ∠ BDE$，
$\therefore △ ADC ∼ △ BDE$。
$\therefore \frac{AD}{BD} = \frac{DC}{DE}$。
$\because AD = 4$，$BD = 5$，$DC = 3$，
$\therefore \frac{4}{5} = \frac{3}{DE}$，
解得$DE = \frac{15}{4}$。
$\frac{15}{4}$
3. 已知，在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CD⊥ AB$ 于点 $D$。若 $BC = 5$，$CD = 3$，则 $AD$ 的长为(
A.$2.25$
B.$2.5$
C.$2.75$
D.$3$
A
)A.$2.25$
B.$2.5$
C.$2.75$
D.$3$
答案：3. A.
解析：
在$Rt△ BCD$中，$BC=5$，$CD=3$，由勾股定理得$BD=\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$。
因为$∠ ACB=90^{\circ}$，$CD⊥ AB$，所以$△ ACD∼△ CBD$，则$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，即$CD^{2}=AD· BD$。
已知$CD=3$，$BD=4$，所以$3^{2}=AD×4$，解得$AD=\frac{9}{4}=2.25$。
A
因为$∠ ACB=90^{\circ}$，$CD⊥ AB$，所以$△ ACD∼△ CBD$，则$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，即$CD^{2}=AD· BD$。
已知$CD=3$，$BD=4$，所以$3^{2}=AD×4$，解得$AD=\frac{9}{4}=2.25$。
A
4. 如图，已知 $CD$ 是 $Rt△ ABC$ 斜边上的中线，$DE⊥ AB$ 交 $BC$ 于点 $F$，交 $AC$ 的延长线于点 $E$。求证：（1）$△ ADE∽△ FDB$；（2）$CD^2 = DE· DF$。
答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析。
解析：
（1）∵DE⊥AB，∴∠ADE=∠FDB=90°。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°。
在Rt△ADE中，∠A+∠E=90°，∴∠E=∠B。
∴△ADE∽△FDB（两角分别相等的两个三角形相似）。
（2）由（1）知△ADE∽△FDB，∴AD/FD=DE/DB，即AD·DB=DE·DF。
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD=DB=CD。
∴AD·DB=CD·CD=CD²，∴CD²=DE·DF。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°。
在Rt△ADE中，∠A+∠E=90°，∴∠E=∠B。
∴△ADE∽△FDB（两角分别相等的两个三角形相似）。
（2）由（1）知△ADE∽△FDB，∴AD/FD=DE/DB，即AD·DB=DE·DF。
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD=DB=CD。
∴AD·DB=CD·CD=CD²，∴CD²=DE·DF。