5. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC$，点 $P$，$D$ 分别是 $BC$，$AC$ 边上的点，且 $∠ APD=∠ B$。
（1）求证：$AC· CD = CP· BP$；
（2）若 $AB = 10$，$BC = 12$，当 $PD// AB$ 时，求 $BP$ 的长。
（1）求证：$AC· CD = CP· BP$；
（2）若 $AB = 10$，$BC = 12$，当 $PD// AB$ 时，求 $BP$ 的长。
答案：5.（1）提示:易证∠APD=∠B=∠C,从而可证到△ABP∽△PCD,即可得到$\frac{BP}{CD}=\frac{AB}{CP}$,即AB·CD=CP·BP,由AB=AC,即可得到AC·CD=CP·BP；
（2）$\frac{25}{3}$.
（2）$\frac{25}{3}$.
6. 如图，点 $C$ 是 $△ ABC$ 与 $△ DEC$ 的公共顶点，且 $∠ ACD=∠ BCE$，有下列 $3$ 个条件：① $AC· CE = DC· BC$；② $AB· CD = DE· AC$；③ $∠ CAB=∠ CDE$。
（1）请在上述条件中选择一个条件来证明 $△ ABC∽△ DEC$，并写出证明过程。
（2）在（1）的结论下，若 $BE = 3$，$CD = 6$，$CE = 5$，求 $AD$ 的长。
（1）请在上述条件中选择一个条件来证明 $△ ABC∽△ DEC$，并写出证明过程。
（2）在（1）的结论下，若 $BE = 3$，$CD = 6$，$CE = 5$，求 $AD$ 的长。
答案：6.（1）选择①或③均正确,证明过程略.
（2）$AD=\frac{18}{5}$.
（2）$AD=\frac{18}{5}$.
自主拓展
如图，点 $O$ 为矩形 $ABCD$ 的对称中心，$AB = 10\ cm$，$BC = 12\ cm$，点 $E$，$F$，$G$ 分别从 $A$，$B$，$C$ 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点 $E$ 的运动速度为 $1\ cm/s$，点 $F$ 的运动速度为 $3\ cm/s$，点 $G$ 的运动速度为 $1.5\ cm/s$，当点 $F$ 到达点 $C$(即点 $F$ 与点 $C$ 重合)时，三个点随之停止运动。在运动过程中，$△ EBF$ 关于直线 $EF$ 的对称图形是 $△ EB'F$。设点 $E$，$F$，$G$ 运动的时间为 $t$(单位：$s$)。
(1)当 $t=$
(2)若以点 $E$，$B$，$F$ 为顶点的三角形与以点 $F$，$C$，$G$ 为顶点的三角形相似，求 $t$ 的值。
(3)是否存在实数 $t$，使得点 $B'$ 与点 $O$ 重合？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由。
如图，点 $O$ 为矩形 $ABCD$ 的对称中心，$AB = 10\ cm$，$BC = 12\ cm$，点 $E$，$F$，$G$ 分别从 $A$，$B$，$C$ 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点 $E$ 的运动速度为 $1\ cm/s$，点 $F$ 的运动速度为 $3\ cm/s$，点 $G$ 的运动速度为 $1.5\ cm/s$，当点 $F$ 到达点 $C$(即点 $F$ 与点 $C$ 重合)时，三个点随之停止运动。在运动过程中，$△ EBF$ 关于直线 $EF$ 的对称图形是 $△ EB'F$。设点 $E$，$F$，$G$ 运动的时间为 $t$(单位：$s$)。
(1)当 $t=$
2.5
$s$ 时，四边形 $EBFB'$ 为正方形。(2)若以点 $E$，$B$，$F$ 为顶点的三角形与以点 $F$，$C$，$G$ 为顶点的三角形相似，求 $t$ 的值。
(3)是否存在实数 $t$，使得点 $B'$ 与点 $O$ 重合？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由。
答案：
（1）若四边形EBFB'为正方形,则BE=BF,即10 - t = 3t,解得t = 2.5. （2）分两种情况,讨论如下：① 若△EBF∽△FCG,则有$\frac{EB}{FC}=\frac{BF}{CG}$,即$\frac{10 - t}{12 - 3t}=\frac{3t}{1.5t}$,解得t = 2.8;② 若△EBF∽△GCF,则有$\frac{EB}{CG}=\frac{BF}{FC}$,即$\frac{10 - t}{1.5t}=\frac{3t}{12 - 3t}$,解得t = - 14 - 2$\sqrt{69}$(不合题意,舍去)或t = - 14 + 2$\sqrt{69}$.
∴ 当t = 2.8 s或t = (- 14 + 2$\sqrt{69}$)s时,以点E,B,F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似. （3）假设存在实数t,使得点B'与点O重合.如图,过点O作OM⊥BC于点M,则在Rt△OFM中,OF=BF=3t,FM=$\frac{1}{2}$BC - BF=6 - 3t,OM=5,由勾股定理,得$OM^{2}+FM^{2}=OF^{2}$,即$5^{2}+(6 - 3t)^{2}=(3t)^{2}$,解得$t=\frac{61}{36}$.过点O作ON⊥AB于点N,则在Rt△OEN中,OE=BE=10 - t,EN=BE - BN=10 - t - 5=5 - t,ON=6,由勾股定理,得$ON^{2}+EN^{2}=OE^{2}$,即$6^{2}+(5 - t)^{2}=(10 - t)^{2}$,解得t = 3.9.
∵$\frac{61}{36}≠3.9$,
∴不存在实数t,使得点B'与点O重合.
（1）若四边形EBFB'为正方形,则BE=BF,即10 - t = 3t,解得t = 2.5. （2）分两种情况,讨论如下：① 若△EBF∽△FCG,则有$\frac{EB}{FC}=\frac{BF}{CG}$,即$\frac{10 - t}{12 - 3t}=\frac{3t}{1.5t}$,解得t = 2.8;② 若△EBF∽△GCF,则有$\frac{EB}{CG}=\frac{BF}{FC}$,即$\frac{10 - t}{1.5t}=\frac{3t}{12 - 3t}$,解得t = - 14 - 2$\sqrt{69}$(不合题意,舍去)或t = - 14 + 2$\sqrt{69}$.
∴ 当t = 2.8 s或t = (- 14 + 2$\sqrt{69}$)s时,以点E,B,F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似. （3）假设存在实数t,使得点B'与点O重合.如图,过点O作OM⊥BC于点M,则在Rt△OFM中,OF=BF=3t,FM=$\frac{1}{2}$BC - BF=6 - 3t,OM=5,由勾股定理,得$OM^{2}+FM^{2}=OF^{2}$,即$5^{2}+(6 - 3t)^{2}=(3t)^{2}$,解得$t=\frac{61}{36}$.过点O作ON⊥AB于点N,则在Rt△OEN中,OE=BE=10 - t,EN=BE - BN=10 - t - 5=5 - t,ON=6,由勾股定理,得$ON^{2}+EN^{2}=OE^{2}$,即$6^{2}+(5 - t)^{2}=(10 - t)^{2}$,解得t = 3.9.
∵$\frac{61}{36}≠3.9$,
∴不存在实数t,使得点B'与点O重合.