1. 如图，已知在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$∠ A = 30^{\circ}$，$CD ⊥ AB$于点$D$，则$△ BCD$与$△ ABC$的周长之比为(
A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$1:5$
A
)A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$1:5$
答案：1. A.
解析：
解：设 $ BC = a $。
在 $ Rt△ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $，$ ∠ A = 30° $，
$\therefore AB = 2BC = 2a$，$ ∠ B = 60° $。
由勾股定理得：$ AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{3}a $，
$△ ABC$ 的周长为 $ AB + BC + AC = 2a + a + \sqrt{3}a = (3 + \sqrt{3})a $。
$\because CD ⊥ AB$，$\therefore ∠ CDB = 90° $，
$∠ BCD = 90° - ∠ B = 30° $。
在 $ Rt△ BCD $ 中，$ ∠ BCD = 30° $，
$\therefore BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}a$。
由勾股定理得：$ CD = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{1}{2}a)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a $，
$△ BCD$ 的周长为 $ BC + BD + CD = a + \frac{1}{2}a + \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{1}{2}(3 + \sqrt{3})a $。
$△ BCD$ 与 $ △ ABC $ 的周长之比为：
$\frac{\frac{1}{2}(3 + \sqrt{3})a}{(3 + \sqrt{3})a} = \frac{1}{2}$，即 $ 1:2 $。
A
在 $ Rt△ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $，$ ∠ A = 30° $，
$\therefore AB = 2BC = 2a$，$ ∠ B = 60° $。
由勾股定理得：$ AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{3}a $，
$△ ABC$ 的周长为 $ AB + BC + AC = 2a + a + \sqrt{3}a = (3 + \sqrt{3})a $。
$\because CD ⊥ AB$，$\therefore ∠ CDB = 90° $，
$∠ BCD = 90° - ∠ B = 30° $。
在 $ Rt△ BCD $ 中，$ ∠ BCD = 30° $，
$\therefore BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}a$。
由勾股定理得：$ CD = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{1}{2}a)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a $，
$△ BCD$ 的周长为 $ BC + BD + CD = a + \frac{1}{2}a + \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{1}{2}(3 + \sqrt{3})a $。
$△ BCD$ 与 $ △ ABC $ 的周长之比为：
$\frac{\frac{1}{2}(3 + \sqrt{3})a}{(3 + \sqrt{3})a} = \frac{1}{2}$，即 $ 1:2 $。
A
2. 如图，矩形$ABCD$中，$AB = 3$，$BC = 4$，动点$P$从$A$点出发，按$A \to B \to C$的方向在$AB$和$BC$上移动，记$PA = x$，点$D$到直线$PA$的距离为$y$，则$y$关于$x$的函数图象大致是(
B
)答案：2. B.
解析：
当点$P$在$AB$上移动时，$PA=x$，$0 ＜ x ≤ 3$，此时直线$PA$即$AB$，点$D$到直线$PA$的距离为$AD$的长度，即$y = 4$。
当点$P$在$BC$上移动时，$3 ＜ x ≤ 5$（$AC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$），连接$PD$，$△ PAD$的面积为$\frac{1}{2} × PA × y = \frac{1}{2} × AD × AB$，即$\frac{1}{2}xy = \frac{1}{2} × 4 × 3$，得$y = \frac{12}{x}$。
综上，函数图象在$0 ＜ x ≤ 3$时为平行于$x$轴的线段$y=4$，在$3 ＜ x ≤ 5$时为反比例函数$y = \frac{12}{x}$的一部分，大致图象是选项B。
B
当点$P$在$BC$上移动时，$3 ＜ x ≤ 5$（$AC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$），连接$PD$，$△ PAD$的面积为$\frac{1}{2} × PA × y = \frac{1}{2} × AD × AB$，即$\frac{1}{2}xy = \frac{1}{2} × 4 × 3$，得$y = \frac{12}{x}$。
综上，函数图象在$0 ＜ x ≤ 3$时为平行于$x$轴的线段$y=4$，在$3 ＜ x ≤ 5$时为反比例函数$y = \frac{12}{x}$的一部分，大致图象是选项B。
B
3. 如图，已知在$△ ABC$中，$DE // BC$，$BC = 6\ \mathrm{cm}$，且$S_{△ ADE}:S_{△ ABC} = 1:4$，那么$DE$的长为(
A.$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
C
)A.$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
答案：3. C.
解析：
证明：
∵ $DE // BC$，
∴ $△ ADE ∼ △ ABC$。
∵ $S_{△ ADE}:S_{△ ABC} = 1:4$，
∴ 相似比为 $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$。
∵ $BC = 6\ \mathrm{cm}$，
∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{1}{2}$，即 $DE = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$。
C
∵ $DE // BC$，
∴ $△ ADE ∼ △ ABC$。
∵ $S_{△ ADE}:S_{△ ABC} = 1:4$，
∴ 相似比为 $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$。
∵ $BC = 6\ \mathrm{cm}$，
∴ $\frac{DE}{BC} = \frac{1}{2}$，即 $DE = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$。
C
4. 如图，在平行四边形$ABCD$中，$E$是$DC$上的点，$DE:EC = 3:2$，连接$AE$交$BD$于点$F$，则$△ DEF$与$△ BAF$的面积之比为(
A.$2:5$
B.$3:5$
C.$9:25$
D.$4:25$
C
)A.$2:5$
B.$3:5$
C.$9:25$
D.$4:25$
答案：4. C.
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB = CD$，
∴$∠ FDE=∠ FBA$，$∠ FED=∠ FAB$，
∴$△ DEF∽△ BAF$。
∵$DE:EC = 3:2$，
∴设$DE = 3k$，$EC=2k$，则$CD=DE + EC=5k$，
∴$AB=CD = 5k$，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$。
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BAF}}=(\frac{DE}{AB})^2=(\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}$。
答案：C
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB = CD$，
∴$∠ FDE=∠ FBA$，$∠ FED=∠ FAB$，
∴$△ DEF∽△ BAF$。
∵$DE:EC = 3:2$，
∴设$DE = 3k$，$EC=2k$，则$CD=DE + EC=5k$，
∴$AB=CD = 5k$，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$。
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BAF}}=(\frac{DE}{AB})^2=(\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}$。
答案：C
5. 将三角形纸片$(△ ABC)$按如图所示的方式折叠，使点$B$落在边$AC$上，记为点$B'$，折痕为$EF$。已知$AB = AC = 6$，$BC = 8$。若以点$B'$，$F$，$C$为顶点的三角形与$△ ABC$相似，则$BF$的长度是
4 或 $\frac{24}{7}$
。答案：5. 4 或 $\frac{24}{7}$.
解析：
解：设$BF = x$，由折叠性质得$B'F = BF = x$，$FC = BC - BF = 8 - x$。
情况1：$△ B'FC ∼ △ ABC$
则$\frac{B'F}{AB} = \frac{FC}{BC}$，即$\frac{x}{6} = \frac{8 - x}{8}$
解得$8x = 6(8 - x)$，$8x = 48 - 6x$，$14x = 48$，$x = \frac{24}{7}$。
情况2：$△ FB'C ∼ △ ABC$
则$\frac{FC}{AB} = \frac{B'F}{BC}$，即$\frac{8 - x}{6} = \frac{x}{8}$
解得$8(8 - x) = 6x$，$64 - 8x = 6x$，$14x = 64$，$x = 4$（经检验，此时$B'$在$AC$上，符合题意）。
综上，$BF$的长度是$4$或$\frac{24}{7}$。
$4$或$\frac{24}{7}$
情况1：$△ B'FC ∼ △ ABC$
则$\frac{B'F}{AB} = \frac{FC}{BC}$，即$\frac{x}{6} = \frac{8 - x}{8}$
解得$8x = 6(8 - x)$，$8x = 48 - 6x$，$14x = 48$，$x = \frac{24}{7}$。
情况2：$△ FB'C ∼ △ ABC$
则$\frac{FC}{AB} = \frac{B'F}{BC}$，即$\frac{8 - x}{6} = \frac{x}{8}$
解得$8(8 - x) = 6x$，$64 - 8x = 6x$，$14x = 64$，$x = 4$（经检验，此时$B'$在$AC$上，符合题意）。
综上，$BF$的长度是$4$或$\frac{24}{7}$。
$4$或$\frac{24}{7}$
6. 如图，在$△ ABC$中，$E$，$F$分别是边$AB$，$AC$上的点，且满足$\frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FC} = \frac{1}{2}$，则$△ AEF$与$△ ABC$的面积比是
$1:9$
。答案：6. $1:9$.
解析：
证明：因为$\frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FC} = \frac{1}{2}$，所以$\frac{AE}{AB} = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$，$\frac{AF}{AC} = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$。
又因为$∠ EAF = ∠ BAC$，所以$△ AEF ∼ △ ABC$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
相似三角形面积比等于相似比的平方，所以$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ABC}} = (\frac{AE}{AB})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$。
故$△ AEF$与$△ ABC$的面积比是$1:9$。
又因为$∠ EAF = ∠ BAC$，所以$△ AEF ∼ △ ABC$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
相似三角形面积比等于相似比的平方，所以$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ABC}} = (\frac{AE}{AB})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$。
故$△ AEF$与$△ ABC$的面积比是$1:9$。