自主探究
问题 如图，已知$△ ABC$是一块锐角三角形余料，边$BC = 12\ \mathrm{cm}$，高$AD = 8\ \mathrm{cm}$，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在$BC$上，其余两个顶点分别在$AB$，$AC$上，这个正方形零件的边长是多少？
名师指导
设四边形$PQMN$是加工好的正方形零件，那么$AE ⊥ PN$，这样$△ APN$的高可写成$AD - ED = AD - PN$，再由$△ APN ∼ △ ABC$，即可找到关于$PN$的关系式。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
问题 如图，已知$△ ABC$是一块锐角三角形余料，边$BC = 12\ \mathrm{cm}$，高$AD = 8\ \mathrm{cm}$，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在$BC$上，其余两个顶点分别在$AB$，$AC$上，这个正方形零件的边长是多少？
名师指导
设四边形$PQMN$是加工好的正方形零件，那么$AE ⊥ PN$，这样$△ APN$的高可写成$AD - ED = AD - PN$，再由$△ APN ∼ △ ABC$，即可找到关于$PN$的关系式。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案：设正方形零件的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，四边形$ PQMN $为加工好的正方形，则$ PN // BC $，$ PQ = PN = x\ \mathrm{cm} $，$ ED = x\ \mathrm{cm} $。
因为$ AD $是$ △ ABC $的高，$ AE ⊥ PN $，所以$ AE = AD - ED = 8 - x\ \mathrm{cm} $。
由于$ PN // BC $，所以$ △ APN ∼ △ ABC $。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{PN}{BC} = \frac{AE}{AD}$
代入数值：
$\frac{x}{12} = \frac{8 - x}{8}$
解方程：
$8x = 12(8 - x)$
$8x = 96 - 12x$
$20x = 96$
$x = \frac{24}{5} = 4.8$
答：这个正方形零件的边长是$ \frac{24}{5}\ \mathrm{cm} $（或$ 4.8\ \mathrm{cm} $）。
因为$ AD $是$ △ ABC $的高，$ AE ⊥ PN $，所以$ AE = AD - ED = 8 - x\ \mathrm{cm} $。
由于$ PN // BC $，所以$ △ APN ∼ △ ABC $。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{PN}{BC} = \frac{AE}{AD}$
代入数值：
$\frac{x}{12} = \frac{8 - x}{8}$
解方程：
$8x = 12(8 - x)$
$8x = 96 - 12x$
$20x = 96$
$x = \frac{24}{5} = 4.8$
答：这个正方形零件的边长是$ \frac{24}{5}\ \mathrm{cm} $（或$ 4.8\ \mathrm{cm} $）。
1. 将一副三角板按如图所示叠放，则$△ AOB$与$△ DOC$的面积之比等于(
A.$\frac{1}{\sqrt{3}}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
C
)A.$\frac{1}{\sqrt{3}}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案：1. C.
2. 如图，已知在$△ ABD$中，$AC ⊥ BD$于点$C$，直线$EF // BD$，交$AB$于点$E$，交$AC$于点$G$，交$AD$于点$F$，若$S_{△ AEG} = \frac{1}{3}S_{\mathrm{四边形}EBCG}$，则$\frac{CF}{AD}$等于(
A.$1:\sqrt{2}$
B.$1:\sqrt{3}$
C.$1:2$
D.$1:3$
C
)A.$1:\sqrt{2}$
B.$1:\sqrt{3}$
C.$1:2$
D.$1:3$
答案：2. C.
解析：
证明：
∵ $ S_{△ AEG} = \frac{1}{3}S_{\mathrm{四边形}EBCG} $，
∴ $ S_{△ AEG} = \frac{1}{4}S_{△ ABC} $。
∵ $ EF // BD $，
∴ $ △ AEG ∼ △ ABC $，
∴ $ ( \frac{AG}{AC} )^2 = \frac{S_{△ AEG}}{S_{△ ABC}} = \frac{1}{4} $，
∴ $ \frac{AG}{AC} = \frac{1}{2} $，即 $ G $ 为 $ AC $ 中点。
∵ $ EF // BD $，
∴ $ F $ 为 $ AD $ 中点，
∴ $ CF = \frac{1}{2}AD $（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴ $ \frac{CF}{AD} = \frac{1}{2} $。
答案：C
∵ $ S_{△ AEG} = \frac{1}{3}S_{\mathrm{四边形}EBCG} $，
∴ $ S_{△ AEG} = \frac{1}{4}S_{△ ABC} $。
∵ $ EF // BD $，
∴ $ △ AEG ∼ △ ABC $，
∴ $ ( \frac{AG}{AC} )^2 = \frac{S_{△ AEG}}{S_{△ ABC}} = \frac{1}{4} $，
∴ $ \frac{AG}{AC} = \frac{1}{2} $，即 $ G $ 为 $ AC $ 中点。
∵ $ EF // BD $，
∴ $ F $ 为 $ AD $ 中点，
∴ $ CF = \frac{1}{2}AD $（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴ $ \frac{CF}{AD} = \frac{1}{2} $。
答案：C
3. 如图，点$A$，$B$，$C$，$D$的坐标分别是$(1,7)$，$(1,1)$，$(4,1)$，$(6,1)$，以$C$，$D$，$E$为顶点的三角形与$△ ABC$相似，则点$E$的坐标不可能是(
A.$(4,2)$
B.$(6,0)$
C.$(6,3)$
D.$(6,5)$
C
)A.$(4,2)$
B.$(6,0)$
C.$(6,3)$
D.$(6,5)$
答案：3. C.
解析：
解：由题意得，$A(1,7)$，$B(1,1)$，$C(4,1)$，$D(6,1)$。
计算$△ABC$的边长：
$AB=7-1=6$，$BC=4-1=3$，$AC=\sqrt{(4-1)^2+(1-7)^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，则$AB:BC:AC=6:3:3\sqrt{5}=2:1:\sqrt{5}$。
对各选项分析：
选项A：$E(4,2)$。$CD=6-4=2$，$CE=2-1=1$，$DE=\sqrt{(6-4)^2+(1-2)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，$CD:CE:DE=2:1:\sqrt{5}$，与$△ABC$相似。
选项B：$E(6,0)$。$CD=2$，$DE=1-0=1$，$CE=\sqrt{(6-4)^2+(0-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，$CD:DE:CE=2:1:\sqrt{5}$，与$△ABC$相似。
选项C：$E(6,3)$。$CD=2$，$DE=3-1=2$，$CE=\sqrt{(6-4)^2+(3-1)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$CD:DE:CE=2:2:2\sqrt{2}=1:1:\sqrt{2}$，与$△ABC$不相似。
选项D：$E(6,5)$。$CD=2$，$DE=5-1=4$，$CE=\sqrt{(6-4)^2+(5-1)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$CD:DE:CE=2:4:2\sqrt{5}=1:2:\sqrt{5}$，与$△ABC$相似。
综上，点$E$的坐标不可能是$(6,3)$。
答案：C
计算$△ABC$的边长：
$AB=7-1=6$，$BC=4-1=3$，$AC=\sqrt{(4-1)^2+(1-7)^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，则$AB:BC:AC=6:3:3\sqrt{5}=2:1:\sqrt{5}$。
对各选项分析：
选项A：$E(4,2)$。$CD=6-4=2$，$CE=2-1=1$，$DE=\sqrt{(6-4)^2+(1-2)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，$CD:CE:DE=2:1:\sqrt{5}$，与$△ABC$相似。
选项B：$E(6,0)$。$CD=2$，$DE=1-0=1$，$CE=\sqrt{(6-4)^2+(0-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，$CD:DE:CE=2:1:\sqrt{5}$，与$△ABC$相似。
选项C：$E(6,3)$。$CD=2$，$DE=3-1=2$，$CE=\sqrt{(6-4)^2+(3-1)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$CD:DE:CE=2:2:2\sqrt{2}=1:1:\sqrt{2}$，与$△ABC$不相似。
选项D：$E(6,5)$。$CD=2$，$DE=5-1=4$，$CE=\sqrt{(6-4)^2+(5-1)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$CD:DE:CE=2:4:2\sqrt{5}=1:2:\sqrt{5}$，与$△ABC$相似。
综上，点$E$的坐标不可能是$(6,3)$。
答案：C