自主探究
问题 如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点 $ O $，且正方形的一组对边与 $ x $ 轴平行，点 $ P(3a,a) $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 的图象与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积和等于 $ 9 $，则这个反比例函数的解析式为.
名师指导
由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积，根据点 $ P(3a,a) $ 可知小正方形的边长，根据图中阴影部分的面积和等于 $ 9 $ 可求出 $ a $ 的值，进而可得点 $ P $ 坐标，从而得出反比例函数的解析式.
解题示范(学生在教师指导下，独立完成)
解：
问题 如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点 $ O $，且正方形的一组对边与 $ x $ 轴平行，点 $ P(3a,a) $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 的图象与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积和等于 $ 9 $，则这个反比例函数的解析式为.
名师指导
由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积，根据点 $ P(3a,a) $ 可知小正方形的边长，根据图中阴影部分的面积和等于 $ 9 $ 可求出 $ a $ 的值，进而可得点 $ P $ 坐标，从而得出反比例函数的解析式.
解题示范(学生在教师指导下，独立完成)
解：
答案：$ y = \frac{27}{4x} $
解析：
解：由题意，正方形中心在原点，边平行于坐标轴，点$ P(3a,a) $在反比例函数$ y = \frac{k}{x}(k＞0) $上，故$ a = \frac{k}{3a} $，即$ k = 3a^2 $。
因反比例函数与正方形均关于原点对称，阴影部分面积和等于小正方形面积，且阴影部分面积和为9，故小正方形面积为9，边长为3。
由点$ P(3a,a) $及正方形对称性，小正方形边长为$ 2a $（$ a＞0 $），则$ (2a)^2 = 9 $，解得$ a^2 = \frac{9}{4} $。
代入$ k = 3a^2 $，得$ k = 3×\frac{9}{4} = \frac{27}{4} $。
故反比例函数解析式为$ y = \frac{27}{4x} $。
因反比例函数与正方形均关于原点对称，阴影部分面积和等于小正方形面积，且阴影部分面积和为9，故小正方形面积为9，边长为3。
由点$ P(3a,a) $及正方形对称性，小正方形边长为$ 2a $（$ a＞0 $），则$ (2a)^2 = 9 $，解得$ a^2 = \frac{9}{4} $。
代入$ k = 3a^2 $，得$ k = 3×\frac{9}{4} = \frac{27}{4} $。
故反比例函数解析式为$ y = \frac{27}{4x} $。
1. 反比例函数 $ y = -\frac{k^2}{x}(k ≠ 0) $ 的图象位于(
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第一、四象限
C
)A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第一、四象限
答案：1. C.
解析：
因为$k≠0$，所以$k^2＞0$，则$-k^2＜0$。对于反比例函数$y = \frac{m}{x}$（$m$为常数，$m≠0$），当$m＜0$时，函数图象位于第二、四象限。所以该反比例函数$y = -\frac{k^2}{x}$的图象位于第二、四象限。
C
C
2. 双曲线 $ y = \frac{4}{x} $ 上横、纵坐标都是整数的点的个数是(
A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 6 $
D.$ 7 $
C
)A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 6 $
D.$ 7 $
答案：2. C.
解析：
设双曲线$y = \frac{4}{x}$上横、纵坐标都是整数的点为$(x,y)$，其中$x$，$y$为整数。
因为$y = \frac{4}{x}$，所以$xy=4$。
$4$的整数因数对有：
$(1,4)$，$(-1,-4)$，$(2,2)$，$(-2,-2)$，$(4,1)$，$(-4,-1)$。
共$6$个点。
答案：C
因为$y = \frac{4}{x}$，所以$xy=4$。
$4$的整数因数对有：
$(1,4)$，$(-1,-4)$，$(2,2)$，$(-2,-2)$，$(4,1)$，$(-4,-1)$。
共$6$个点。
答案：C
3. 下列图象中，函数 $ y = kx + k $ 与 $ y = \frac{k}{x}(k ≠ 0) $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是(
B
)答案：3. B.
解析：
解：当$k＞0$时，
一次函数$y = kx + k$，$k＞0$，$b = k＞0$，图象过第一、二、三象限；
反比例函数$y=\frac{k}{x}$，$k＞0$，图象在第一、三象限。
当$k＜0$时，
一次函数$y = kx + k$，$k＜0$，$b = k＜0$，图象过第二、三、四象限；
反比例函数$y=\frac{k}{x}$，$k＜0$，图象在第二、四象限。
选项B符合$k＜0$时的情况。
B
一次函数$y = kx + k$，$k＞0$，$b = k＞0$，图象过第一、二、三象限；
反比例函数$y=\frac{k}{x}$，$k＞0$，图象在第一、三象限。
当$k＜0$时，
一次函数$y = kx + k$，$k＜0$，$b = k＜0$，图象过第二、三、四象限；
反比例函数$y=\frac{k}{x}$，$k＜0$，图象在第二、四象限。
选项B符合$k＜0$时的情况。
B