1. 如图，$BD⊥ AC$于点$D$，$CE⊥ AB$于点$E$，$BD$与$CE$相交于点$O$，则图中线段的比不能表示$\sin A$的式子为(
A.$\dfrac{BD}{AB}$
B.$\dfrac{CD}{OC}$
C.$\dfrac{AE}{AD}$
D.$\dfrac{BE}{OB}$
C
)A.$\dfrac{BD}{AB}$
B.$\dfrac{CD}{OC}$
C.$\dfrac{AE}{AD}$
D.$\dfrac{BE}{OB}$
答案：1. C
解析：
证明：
∵ $BD ⊥ AC$，$CE ⊥ AB$，
∴ $∠ ADB = ∠ AEC = 90°$。
在 $Rt△ ABD$ 中，$\sin A = \frac{BD}{AB}$（A选项正确）；
在 $Rt△ AEC$ 中，$\sin A = \frac{CE}{AC}$。
∵ $∠ A + ∠ ABD = 90°$，$∠ EOB + ∠ ABD = 90°$，
∴ $∠ A = ∠ EOB$。
在 $Rt△ BOE$ 中，$\sin ∠ EOB = \frac{BE}{OB}$，即 $\sin A = \frac{BE}{OB}$（D选项正确）。
同理，$∠ A = ∠ DOC$，在 $Rt△ DOC$ 中，$\sin ∠ DOC = \frac{CD}{OC}$，即 $\sin A = \frac{CD}{OC}$（B选项正确）。
$\frac{AE}{AD}$ 无法表示 $\sin A$。
答案：C
∵ $BD ⊥ AC$，$CE ⊥ AB$，
∴ $∠ ADB = ∠ AEC = 90°$。
在 $Rt△ ABD$ 中，$\sin A = \frac{BD}{AB}$（A选项正确）；
在 $Rt△ AEC$ 中，$\sin A = \frac{CE}{AC}$。
∵ $∠ A + ∠ ABD = 90°$，$∠ EOB + ∠ ABD = 90°$，
∴ $∠ A = ∠ EOB$。
在 $Rt△ BOE$ 中，$\sin ∠ EOB = \frac{BE}{OB}$，即 $\sin A = \frac{BE}{OB}$（D选项正确）。
同理，$∠ A = ∠ DOC$，在 $Rt△ DOC$ 中，$\sin ∠ DOC = \frac{CD}{OC}$，即 $\sin A = \frac{CD}{OC}$（B选项正确）。
$\frac{AE}{AD}$ 无法表示 $\sin A$。
答案：C
2. 若$0^{\circ}＜ A＜90^{\circ}$，且$\sin A$的值是方程$2x^{2}-3x+1=0$的一个根，则$\sin A$的值为(
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$1$
C.$1$或$2$
D.$\dfrac{1}{2}$或$1$
A
)A.$\dfrac{1}{2}$
B.$1$
C.$1$或$2$
D.$\dfrac{1}{2}$或$1$
答案：2. A
解析：
解方程$2x^{2}-3x + 1=0$，因式分解得$(2x - 1)(x - 1)=0$，解得$x_1=\dfrac{1}{2}$，$x_2 = 1$。
因为$0^{\circ}＜A＜90^{\circ}$，所以$0＜\sin A＜1$。
$\sin A$的值为$\dfrac{1}{2}$。
A
因为$0^{\circ}＜A＜90^{\circ}$，所以$0＜\sin A＜1$。
$\sin A$的值为$\dfrac{1}{2}$。
A
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90^{\circ}$，$AC=BC=4$，将$△ ABC$折叠，使点$A$落在$BC$边上的点$D$处，$EF$为折痕，若$AE=3$，则$\sin∠ BFD$的值为(
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\dfrac{3}{5}$
A
)A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\dfrac{3}{5}$
答案：3. A
解析：
证明：
∵在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$AC=BC=4$，
∴$∠A=∠B=45^{\circ}$，$AB=4\sqrt{2}$。
由折叠性质，得$△AEF≌△DEF$，
∴$AE=DE=3$，$∠A=∠EDF=45^{\circ}$，$AF=DF$。
∵$AC=4$，$AE=3$，
∴$EC=AC-AE=1$。
设$CF=x$，则$AF=AC-CF=4-x$，$DF=AF=4-x$。
在$Rt△ECF$中，$EF^2=EC^2+CF^2=1+x^2$。
在$Rt△EDF$中，$EF^2=DE^2+DF^2-2·DE·DF·\cos∠EDF$
$=3^2+(4-x)^2-2×3×(4-x)×\cos45^{\circ}$，
整理得$1+x^2=9+(4-x)^2-3\sqrt{2}(4-x)$，
解得$x=1$，
∴$CF=1$，$DF=4-x=3$。
在$Rt△CFD$中，$\sin∠CDF=\frac{CF}{DF}=\frac{1}{3}$。
∵$∠CDF+∠FDB=180^{\circ}-∠EDF=135^{\circ}$，
$∠BFD+∠FDB=180^{\circ}-∠B=135^{\circ}$，
∴$∠BFD=∠CDF$，
∴$\sin∠BFD=\sin∠CDF=\frac{1}{3}$。
答案：A
∵在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$AC=BC=4$，
∴$∠A=∠B=45^{\circ}$，$AB=4\sqrt{2}$。
由折叠性质，得$△AEF≌△DEF$，
∴$AE=DE=3$，$∠A=∠EDF=45^{\circ}$，$AF=DF$。
∵$AC=4$，$AE=3$，
∴$EC=AC-AE=1$。
设$CF=x$，则$AF=AC-CF=4-x$，$DF=AF=4-x$。
在$Rt△ECF$中，$EF^2=EC^2+CF^2=1+x^2$。
在$Rt△EDF$中，$EF^2=DE^2+DF^2-2·DE·DF·\cos∠EDF$
$=3^2+(4-x)^2-2×3×(4-x)×\cos45^{\circ}$，
整理得$1+x^2=9+(4-x)^2-3\sqrt{2}(4-x)$，
解得$x=1$，
∴$CF=1$，$DF=4-x=3$。
在$Rt△CFD$中，$\sin∠CDF=\frac{CF}{DF}=\frac{1}{3}$。
∵$∠CDF+∠FDB=180^{\circ}-∠EDF=135^{\circ}$，
$∠BFD+∠FDB=180^{\circ}-∠B=135^{\circ}$，
∴$∠BFD=∠CDF$，
∴$\sin∠BFD=\sin∠CDF=\frac{1}{3}$。
答案：A
4. 在$△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$a$，$b$，$c$为三边.
(1)若$c=2$，$b=\sqrt{3}$，则$\sin A=$
(1)若$c=2$，$b=\sqrt{3}$，则$\sin A=$
$\frac{1}{2}$
；(2)若$4a=3b$，则$\sin A=$$\frac{3}{5}$
.答案：4. (1) $\frac{1}{2}$；(2) $\frac{3}{5}$
解析：
(1) 在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$c=2$，$b=\sqrt{3}$，由勾股定理得$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4 - 3}=1$，则$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{1}{2}$；
(2) 设$a=3k$，因为$4a=3b$，所以$b=4k$，由勾股定理得$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(3k)^{2}+(4k)^{2}}=5k$，则$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$。
(2) 设$a=3k$，因为$4a=3b$，所以$b=4k$，由勾股定理得$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(3k)^{2}+(4k)^{2}}=5k$，则$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}$。
5. 在$△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$\sin A=\dfrac{1}{3}$，$BC=3$，则$AB=$
9
.答案：5. 9
解析：
在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1}{3}$，$BC=3$，则$\dfrac{3}{AB}=\dfrac{1}{3}$，解得$AB=9$。
6. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，且满足$a:b:c=5:12:13$，求$\sin A$，$\sin B$的值.
答案：6. $\frac{5}{13},\frac{12}{13}$（提示：先证明$△ ABC$是直角三角形）
解析：
设$a = 5k$，$b = 12k$，$c = 13k$（$k＞0$）。
因为$a^2 + b^2=(5k)^2+(12k)^2 = 25k^2 + 144k^2=169k^2$，$c^2=(13k)^2 = 169k^2$，所以$a^2 + b^2 = c^2$，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C = 90°$。
$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{5k}{13k}=\frac{5}{13}$，$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{12k}{13k}=\frac{12}{13}$。
$\sin A=\frac{5}{13}$，$\sin B=\frac{12}{13}$
因为$a^2 + b^2=(5k)^2+(12k)^2 = 25k^2 + 144k^2=169k^2$，$c^2=(13k)^2 = 169k^2$，所以$a^2 + b^2 = c^2$，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C = 90°$。
$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{5k}{13k}=\frac{5}{13}$，$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{12k}{13k}=\frac{12}{13}$。
$\sin A=\frac{5}{13}$，$\sin B=\frac{12}{13}$
7. 如图，在等腰$△ ABC$中，$AB=AC=10$，$BC=12$，求$\sin B$的值.
答案：7. $\frac{4}{5}$
解析：
解：过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$。
因为$AB = AC$，所以$BD = \frac{1}{2}BC = 6$。
在$Rt△ ABD$中，$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$。
所以$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
因为$AB = AC$，所以$BD = \frac{1}{2}BC = 6$。
在$Rt△ ABD$中，$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$。
所以$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$。
自主拓展
阅读$\sin15^{\circ}$的求法.
如图，已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$∠ A=15^{\circ}$，求$\sin A$.
解：作$AB$的垂直平分线交$AC$于点$D$，连接$BD$，则$AD=BD$.
$\therefore∠ ABD=∠ A=15^{\circ}$，$∠ BDC=30^{\circ}$.
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，设$BC=1$，则$AD=DB=2$，$DC=\sqrt{3}$.
$\therefore AC=AD+DC=2+\sqrt{3}$，$AB=\sqrt{1+(\sqrt{3}+2)^{2}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$.
$\therefore\sin15^{\circ}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
你能根据上述方法求$\sin22.5^{\circ}$的值吗？
阅读$\sin15^{\circ}$的求法.
如图，已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$∠ A=15^{\circ}$，求$\sin A$.
解：作$AB$的垂直平分线交$AC$于点$D$，连接$BD$，则$AD=BD$.
$\therefore∠ ABD=∠ A=15^{\circ}$，$∠ BDC=30^{\circ}$.
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，设$BC=1$，则$AD=DB=2$，$DC=\sqrt{3}$.
$\therefore AC=AD+DC=2+\sqrt{3}$，$AB=\sqrt{1+(\sqrt{3}+2)^{2}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$.
$\therefore\sin15^{\circ}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
你能根据上述方法求$\sin22.5^{\circ}$的值吗？
答案：作$Rt \bigtriangleup ABC$，使$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ A = 22.5^{\circ}$。
作$AB$的垂直平分线交$AC$于点$D$，连接$BD$，则$AD = BD$。
$\therefore ∠ ABD = ∠ A = 22.5^{\circ}$，
$\therefore ∠ BDC = 45^{\circ}$。
在$Rt \bigtriangleup BCD$中，设$BC = 1$。
利用45度角的直角三角形性质，可得：
$BD = AD =\sqrt{2}$，
$DC = BC = 1$（等腰直角三角形两直角边相等）。
$\therefore AC = AD + DC = \sqrt{2} + 1$。
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，利用勾股定理，有：
$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{{(\sqrt{2} + 1)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2+2\sqrt{2}+1+1} = \sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$。
$\therefore \sin 22.5^{\circ} = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}} =\frac{1}{\sqrt{2+2\sqrt{2}+2-2}} =\frac{1}{\sqrt{{(\sqrt{2} + 1)}^{2} -(\sqrt{2} )^{2}+(\sqrt{2} )^{2}}} =\frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}}{2} =\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{ \sqrt{2}×\sqrt{2- \sqrt{2}}÷\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$。
作$AB$的垂直平分线交$AC$于点$D$，连接$BD$，则$AD = BD$。
$\therefore ∠ ABD = ∠ A = 22.5^{\circ}$，
$\therefore ∠ BDC = 45^{\circ}$。
在$Rt \bigtriangleup BCD$中，设$BC = 1$。
利用45度角的直角三角形性质，可得：
$BD = AD =\sqrt{2}$，
$DC = BC = 1$（等腰直角三角形两直角边相等）。
$\therefore AC = AD + DC = \sqrt{2} + 1$。
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，利用勾股定理，有：
$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{{(\sqrt{2} + 1)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2+2\sqrt{2}+1+1} = \sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$。
$\therefore \sin 22.5^{\circ} = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}} =\frac{1}{\sqrt{2+2\sqrt{2}+2-2}} =\frac{1}{\sqrt{{(\sqrt{2} + 1)}^{2} -(\sqrt{2} )^{2}+(\sqrt{2} )^{2}}} =\frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}}{2} =\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{ \sqrt{2}×\sqrt{2- \sqrt{2}}÷\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$。