1. 如图，$△ ABC$的顶点都是正方形网格中的格点，则$\sin∠ ABC$等于(
A.$\sqrt{5}$
B.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{2}{3}$
C
)A.$\sqrt{5}$
B.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案：1. C
解析：
过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$。
设网格中每个小正方形的边长为$1$。
由图可知，$B$点坐标为$(0,0)$，$C$点坐标为$(4,0)$，$A$点坐标为$(4,2)$。
$BC$的长度为$4 - 0 = 4$。
$AD$的长度为$A$点的纵坐标，即$2$。
$AB$的长度：根据勾股定理，$AB = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
在$Rt△ ABD$中，$\sin∠ ABC = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{2}{2\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
C
设网格中每个小正方形的边长为$1$。
由图可知，$B$点坐标为$(0,0)$，$C$点坐标为$(4,0)$，$A$点坐标为$(4,2)$。
$BC$的长度为$4 - 0 = 4$。
$AD$的长度为$A$点的纵坐标，即$2$。
$AB$的长度：根据勾股定理，$AB = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
在$Rt△ ABD$中，$\sin∠ ABC = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{2}{2\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
C
2. 如图，已知$CD$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边上的高，则$\sin A=\dfrac{(\quad)}{AC}=\dfrac{BC}{(\quad)}$，$\sin B=\dfrac{CD}{(\quad)}=\dfrac{AC}{(\quad)}$，$\sin∠ DCB=\dfrac{(\quad)}{(\quad)}$，$\sin∠ ACD=\dfrac{(\quad)}{(\quad)}$.
答案：2. CD,AB;BC,AB;DB,BC;AD,AC
解析：
$\sin A=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{BC}{AB}$，$\sin B=\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{AC}{AB}$，$\sin∠ DCB=\dfrac{DB}{BC}$，$\sin∠ ACD=\dfrac{AD}{AC}$
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$.
(1)若$BC=5$，$AB=13$，则$\sin A=$
(2)若$AC=8$，$AB=17$，则$\sin A=$
(1)若$BC=5$，$AB=13$，则$\sin A=$
$\frac{5}{13}$
，$\sin B=$$\frac{12}{13}$
；(2)若$AC=8$，$AB=17$，则$\sin A=$
$\frac{15}{17}$
.答案：3. (1) $\frac{5}{13},\frac{12}{13}$；(2) $\frac{15}{17}$
自主探究
问题 如图，已知在$△ ABC$中，$∠ C=120^{\circ}$，$AC=3$，$BC=2$，求$AB$和$\sin A$的值.
名师指导
求线段长及锐角的正弦值通常需要在直角三角形中求解，为此可通过作三角形的高达到“化斜（斜三角形）为直（直角三角形）”的目的.
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
问题 如图，已知在$△ ABC$中，$∠ C=120^{\circ}$，$AC=3$，$BC=2$，求$AB$和$\sin A$的值.
名师指导
求线段长及锐角的正弦值通常需要在直角三角形中求解，为此可通过作三角形的高达到“化斜（斜三角形）为直（直角三角形）”的目的.
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案：1. 过点$C$作$CD⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$D$：
因为$∠ ACB = 120^{\circ}$，所以$∠ BCD=180^{\circ}-∠ ACB = 60^{\circ}$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ BDC = 90^{\circ}$，$∠ BCD = 60^{\circ}$，$BC = 2$。
根据三角函数的定义，$\cos∠ BCD=\frac{CD}{BC}$，$\sin∠ BCD=\frac{BD}{BC}$。
则$CD = BC·\cos∠ BCD=2×\cos60^{\circ}=2×\frac{1}{2}=1$，$BD = BC·\sin∠ BCD=2×\sin60^{\circ}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$CD = 1$。
根据勾股定理$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}$，由$AC = 3$，$CD = 1$，可得$AD=\sqrt{3^{2}-1^{2}}=\sqrt{9 - 1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
2. 求$AB$的长：
$AB=AD - BD$，把$AD = 2\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{3}$代入，得$AB = 2\sqrt{2}-\sqrt{3}$。
3. 求$\sin A$的值：
在$Rt△ ACD$中，根据正弦函数的定义$\sin A=\frac{CD}{AC}$。
已知$CD = 1$，$AC = 3$，所以$\sin A=\frac{1}{3}$。
综上，$AB = 2\sqrt{2}-\sqrt{3}$，$\sin A=\frac{1}{3}$。
因为$∠ ACB = 120^{\circ}$，所以$∠ BCD=180^{\circ}-∠ ACB = 60^{\circ}$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ BDC = 90^{\circ}$，$∠ BCD = 60^{\circ}$，$BC = 2$。
根据三角函数的定义，$\cos∠ BCD=\frac{CD}{BC}$，$\sin∠ BCD=\frac{BD}{BC}$。
则$CD = BC·\cos∠ BCD=2×\cos60^{\circ}=2×\frac{1}{2}=1$，$BD = BC·\sin∠ BCD=2×\sin60^{\circ}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$CD = 1$。
根据勾股定理$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}$，由$AC = 3$，$CD = 1$，可得$AD=\sqrt{3^{2}-1^{2}}=\sqrt{9 - 1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
2. 求$AB$的长：
$AB=AD - BD$，把$AD = 2\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{3}$代入，得$AB = 2\sqrt{2}-\sqrt{3}$。
3. 求$\sin A$的值：
在$Rt△ ACD$中，根据正弦函数的定义$\sin A=\frac{CD}{AC}$。
已知$CD = 1$，$AC = 3$，所以$\sin A=\frac{1}{3}$。
综上，$AB = 2\sqrt{2}-\sqrt{3}$，$\sin A=\frac{1}{3}$。