22. （10 分）如图，锐角三角形 $ABC$ 内接于 $\odot O$，$∠ BAC$ 的平分线 $AG$ 交 $\odot O$ 于点 $G$，交 $BC$ 边于点 $F$，连接 $BG$.
（1）求证：$△ ABG∽△ AFC$.
（2）已知 $AB = a$，$AC = AF = b$，求线段 $FG$ 的长（用含 $a$，$b$ 的代数式表示）.
（3）已知点 $E$ 在线段 $AF$ 上（不与点 $A$，点 $F$ 重合），点 $D$ 在线段 $AE$ 上（不与点 $A$，点 $E$ 重合），$∠ ABD = ∠ CBE$，求证：$BG^2 = GE· GD$.
（1）求证：$△ ABG∽△ AFC$.
（2）已知 $AB = a$，$AC = AF = b$，求线段 $FG$ 的长（用含 $a$，$b$ 的代数式表示）.
（3）已知点 $E$ 在线段 $AF$ 上（不与点 $A$，点 $F$ 重合），点 $D$ 在线段 $AE$ 上（不与点 $A$，点 $E$ 重合），$∠ ABD = ∠ CBE$，求证：$BG^2 = GE· GD$.
答案：22. （1）因为 $AG$ 平分 $∠ BAC$，所以 $∠ BAG=∠ FAC$，又因为 $∠ G=∠ C$，所以 $△ ABG∽ △ AFC$.
（2）由（1），知 $\frac{AB}{AF}=\frac{AG}{AC}$，因为 $AC=AF$，所以 $AG=AB$，所以 $FG=AG-AF=a-b$.
（3）因为 $∠ CAG=∠ CBG$，又因为 $∠ BAG=∠ CAG$，所以 $∠ BAG=∠ CBG$. 因为 $∠ ABD=∠ CBE$，所以 $∠ BDG=∠ BAG+∠ ABD=∠ CBG+∠ CBE=∠ EBG$，又因为 $∠ DGB=∠ BGE$，所以 $△ DGB∽ △ BGE$，所以 $\frac{GD}{BG}=\frac{BG}{GE}$，所以 $BG^{2}=GE· GD$.
（2）由（1），知 $\frac{AB}{AF}=\frac{AG}{AC}$，因为 $AC=AF$，所以 $AG=AB$，所以 $FG=AG-AF=a-b$.
（3）因为 $∠ CAG=∠ CBG$，又因为 $∠ BAG=∠ CAG$，所以 $∠ BAG=∠ CBG$. 因为 $∠ ABD=∠ CBE$，所以 $∠ BDG=∠ BAG+∠ ABD=∠ CBG+∠ CBE=∠ EBG$，又因为 $∠ DGB=∠ BGE$，所以 $△ DGB∽ △ BGE$，所以 $\frac{GD}{BG}=\frac{BG}{GE}$，所以 $BG^{2}=GE· GD$.
23. （12 分）如图，一次函数 $y = 2x + 2$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $B$，与反比例函数 $y = \frac{k_1}{x}$ 的图象的一个交点为 $A(1,m)$. 过点 $B$ 作 $AB$ 的垂线 $BD$，与反比例函数 $y = \frac{k_2}{x}(x ＞ 0)$ 的图象交于点 $D(n,-2)$.
（1）求 $k_1$ 和 $k_2$ 的值；
（2）若直线 $AB$，$BD$ 分别交 $x$ 轴于点 $C$，$E$，试问在 $y$ 轴上是否存在一点 $F$，使得 $△ BDF$ 与 $△ ACE$ 相似. 若存在，求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）求 $k_1$ 和 $k_2$ 的值；
（2）若直线 $AB$，$BD$ 分别交 $x$ 轴于点 $C$，$E$，试问在 $y$ 轴上是否存在一点 $F$，使得 $△ BDF$ 与 $△ ACE$ 相似. 若存在，求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：23. （1）$k_{1}=4,k_{2}=-16$；
（2）$F_{1}(0,-8),F_{2}(0,-6)$.
（2）$F_{1}(0,-8),F_{2}(0,-6)$.