三、解答题（共 5 小题，共 46 分）
19. （8 分）已知：如图，在 $△ ABC$ 中，点 $D$，$E$ 分别在边 $BC$，$AC$ 上，点 $F$ 在 $DE$ 的延长线上，$AD = AF$，$AE· CE = DE· EF$.
（1）求证：$△ ADE∽△ ACD$；
（2）如果 $AE· BD = EF· AF$，求证：$AB = AC$.
19. （8 分）已知：如图，在 $△ ABC$ 中，点 $D$，$E$ 分别在边 $BC$，$AC$ 上，点 $F$ 在 $DE$ 的延长线上，$AD = AF$，$AE· CE = DE· EF$.
（1）求证：$△ ADE∽△ ACD$；
（2）如果 $AE· BD = EF· AF$，求证：$AB = AC$.
答案：19. 证明：（1）$\because AD=AF,\therefore ∠ ADF=∠ F.\because AE· CE=DE· EF,\therefore \frac{AE}{DE}=\frac{EF}{CE}$. 又 $\because ∠ AEF=∠ DEC,\therefore △ AEF∽ △ DEC,\therefore ∠ F=∠ C,\therefore ∠ ADE=∠ C$. 又 $\because ∠ DAE=∠ CAD,\therefore △ ADE∽ △ ACD$. （2）$\because AE· BD=EF· AF,\therefore \frac{AE}{AF}=\frac{EF}{BD}.\because AD=AF,\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{EF}{BD}.\because ∠ AEF=∠ EAD+∠ ADE,∠ ADB=∠ EAD+∠ C,\therefore ∠ AEF=∠ ADB,\therefore △ AEF∽ △ ADB,\therefore ∠ F=∠ B,\therefore ∠ C=∠ B,\therefore AB=AC$.
解析：
（1）证明：$\because AD=AF$，$\therefore ∠ ADF=∠ F$。
$\because AE· CE=DE· EF$，$\therefore \frac{AE}{DE}=\frac{EF}{CE}$。
又$\because ∠ AEF=∠ DEC$，$\therefore △ AEF∽ △ DEC$，$\therefore ∠ F=∠ C$，$\therefore ∠ ADE=∠ C$。
又$\because ∠ DAE=∠ CAD$，$\therefore △ ADE∽ △ ACD$。
（2）证明：$\because AE· BD=EF· AF$，$\therefore \frac{AE}{AF}=\frac{EF}{BD}$。
$\because AD=AF$，$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{EF}{BD}$。
$\because ∠ AEF=∠ EAD+∠ ADE$，$∠ ADB=∠ EAD+∠ C$，且由（1）知$∠ ADE=∠ C$，$\therefore ∠ AEF=∠ ADB$。
$\therefore △ AEF∽ △ ADB$，$\therefore ∠ F=∠ B$。
又由（1）知$∠ F=∠ C$，$\therefore ∠ B=∠ C$，$\therefore AB=AC$。
$\because AE· CE=DE· EF$，$\therefore \frac{AE}{DE}=\frac{EF}{CE}$。
又$\because ∠ AEF=∠ DEC$，$\therefore △ AEF∽ △ DEC$，$\therefore ∠ F=∠ C$，$\therefore ∠ ADE=∠ C$。
又$\because ∠ DAE=∠ CAD$，$\therefore △ ADE∽ △ ACD$。
（2）证明：$\because AE· BD=EF· AF$，$\therefore \frac{AE}{AF}=\frac{EF}{BD}$。
$\because AD=AF$，$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{EF}{BD}$。
$\because ∠ AEF=∠ EAD+∠ ADE$，$∠ ADB=∠ EAD+∠ C$，且由（1）知$∠ ADE=∠ C$，$\therefore ∠ AEF=∠ ADB$。
$\therefore △ AEF∽ △ ADB$，$\therefore ∠ F=∠ B$。
又由（1）知$∠ F=∠ C$，$\therefore ∠ B=∠ C$，$\therefore AB=AC$。
20. (8 分)$△ ABC$ 和 $△ DEF$ 是两个全等的等腰直角三角形，$∠ BAC = ∠ EDF = 90^{\circ}$，$△ EDF$ 的顶点 $E$ 与 $△ ABC$ 的斜边 $BC$ 的中点 $E$ 重合，将 $△ DEF$ 绕点 $E$ 旋转，旋转过程中，线段 $DE$ 与线段 $AB$ 相交于点 $P$，线段 $EF$ 与射线 $CA$ 相交于点 $Q$.
(1)如图(1)，当点 $Q$ 在线段 $AC$ 上，且 $AP = AQ$ 时，求证：$△ BPE≌△ CQE$；
(2)如图(2)，当点 $Q$ 在线段 $CA$ 的延长线上时，求证：$△ BPE∽△ CEQ$；
(3)在(2)的条件下，$BP = 2$，$CQ = 9$，则 $BC$ 的长为
(1)如图(1)，当点 $Q$ 在线段 $AC$ 上，且 $AP = AQ$ 时，求证：$△ BPE≌△ CQE$；
(2)如图(2)，当点 $Q$ 在线段 $CA$ 的延长线上时，求证：$△ BPE∽△ CEQ$；
(3)在(2)的条件下，$BP = 2$，$CQ = 9$，则 $BC$ 的长为
$6\sqrt{2}$
.答案：20. （1）$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形，$\therefore ∠ B=∠ C=45^{\circ},AB=AC.\because AP=AQ,\therefore BP=CQ.\because E$ 是 $BC$ 的中点，$\therefore BE=CE$. 在 $△ BPE$ 和 $△ CQE$ 中，$\because \{\begin{array}{l}BE=CE,\\ ∠ B=∠ C,\\ BP=CQ,\end{array} \therefore △ BPE≌ △ CQE(SAS)$.
（2）$\because △ ABC$ 和 $△ DEF$ 是两个全等的等腰直角三角形，$\therefore ∠ B=∠ C=∠ DEF=45^{\circ}.\because ∠ BEQ=∠ EQC+∠ C$，即 $∠ BEP+∠ DEF=∠ EQC+∠ C,\therefore ∠ BEP+45^{\circ}=∠ EQC+45^{\circ},\therefore ∠ BEP=∠ CQE,\therefore △ BPE∽ △ CEQ$. （3）$BC=6\sqrt{2}$.
（2）$\because △ ABC$ 和 $△ DEF$ 是两个全等的等腰直角三角形，$\therefore ∠ B=∠ C=∠ DEF=45^{\circ}.\because ∠ BEQ=∠ EQC+∠ C$，即 $∠ BEP+∠ DEF=∠ EQC+∠ C,\therefore ∠ BEP+45^{\circ}=∠ EQC+45^{\circ},\therefore ∠ BEP=∠ CQE,\therefore △ BPE∽ △ CEQ$. （3）$BC=6\sqrt{2}$.
21. （8 分）如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$BC = 8$，点 $D$ 为边 $CB$ 上的一个动点（点 $D$ 不与点 $B$ 重合），过点 $D$ 作 $DO⊥ AB$，垂足为 $O$，点 $B'$ 在边 $AB$ 上，且与点 $B$ 关于直线 $DO$ 对称，连接 $DB'$，$AD$.
（1）求证：$△ DOB∽△ ACB$；
（2）若 $AD$ 平分 $∠ CAB$，求线段 $BD$ 的长；
（3）当 $△ AB'D$ 为等腰三角形时，求线段 $BD$ 的长.
（1）求证：$△ DOB∽△ ACB$；
（2）若 $AD$ 平分 $∠ CAB$，求线段 $BD$ 的长；
（3）当 $△ AB'D$ 为等腰三角形时，求线段 $BD$ 的长.
答案：21. （1）证明：$\because DO⊥ AB,\therefore ∠ DOB=90^{\circ},\therefore ∠ ACB=∠ DOB=90^{\circ}$. 又 $\because ∠ B=∠ B,\therefore △ DOB∽ △ ACB$. （2）5；（3）$\frac{50}{13}$.
解析：
（1）证明：$\because DO ⊥ AB$，$\therefore ∠ DOB = 90°$，$\because ∠ ACB = 90°$，$\therefore ∠ ACB = ∠ DOB$，又$\because ∠ B = ∠ B$，$\therefore △ DOB ∼ △ ACB$。
（2）解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC = 6$，$BC = 8$，$\therefore AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，$\because AD$平分$∠ CAB$，$DC ⊥ AC$，$DO ⊥ AB$，$\therefore DC = DO$，设$BD = x$，则$DC = 8 - x$，$DO = 8 - x$，由（1）知$△ DOB ∼ △ ACB$，$\therefore \frac{DO}{AC} = \frac{BD}{AB}$，即$\frac{8 - x}{6} = \frac{x}{10}$，解得$x = 5$，$\therefore BD = 5$。
（3）解：设$BD = x$，由（1）知$△ DOB ∼ △ ACB$，$\therefore \frac{DO}{AC} = \frac{BO}{BC} = \frac{BD}{AB}$，$\frac{DO}{6} = \frac{BO}{8} = \frac{x}{10}$，$\therefore DO = \frac{3}{5}x$，$BO = \frac{4}{5}x$，$\because$点$B$与$B'$关于$DO$对称，$\therefore B'O = BO = \frac{4}{5}x$，$DB' = DB = x$，$\therefore AB' = AB - BO - B'O = 10 - \frac{8}{5}x$，在$△ AB'D$中，$AB' = 10 - \frac{8}{5}x$，$AD = \sqrt{AC^2 + DC^2} = \sqrt{6^2 + (8 - x)^2}$，$DB' = x$，当$△ AB'D$为等腰三角形时，$AB' = DB'$，即$10 - \frac{8}{5}x = x$，解得$x = \frac{50}{13}$，$\therefore BD = \frac{50}{13}$。
（2）解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC = 6$，$BC = 8$，$\therefore AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，$\because AD$平分$∠ CAB$，$DC ⊥ AC$，$DO ⊥ AB$，$\therefore DC = DO$，设$BD = x$，则$DC = 8 - x$，$DO = 8 - x$，由（1）知$△ DOB ∼ △ ACB$，$\therefore \frac{DO}{AC} = \frac{BD}{AB}$，即$\frac{8 - x}{6} = \frac{x}{10}$，解得$x = 5$，$\therefore BD = 5$。
（3）解：设$BD = x$，由（1）知$△ DOB ∼ △ ACB$，$\therefore \frac{DO}{AC} = \frac{BO}{BC} = \frac{BD}{AB}$，$\frac{DO}{6} = \frac{BO}{8} = \frac{x}{10}$，$\therefore DO = \frac{3}{5}x$，$BO = \frac{4}{5}x$，$\because$点$B$与$B'$关于$DO$对称，$\therefore B'O = BO = \frac{4}{5}x$，$DB' = DB = x$，$\therefore AB' = AB - BO - B'O = 10 - \frac{8}{5}x$，在$△ AB'D$中，$AB' = 10 - \frac{8}{5}x$，$AD = \sqrt{AC^2 + DC^2} = \sqrt{6^2 + (8 - x)^2}$，$DB' = x$，当$△ AB'D$为等腰三角形时，$AB' = DB'$，即$10 - \frac{8}{5}x = x$，解得$x = \frac{50}{13}$，$\therefore BD = \frac{50}{13}$。