9. 如图，已知在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CD⊥ AB$ 于 $D$，若 $AD = 1$，$BD = 4$，则 $CD$ 等于(
A.$2$
B.$4$
C.$\sqrt{2}$
D.$3$
A
)A.$2$
B.$4$
C.$\sqrt{2}$
D.$3$
答案：9. A
解析：
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CD ⊥ AB$于$D$，
由射影定理得$CD^{2}=AD · BD$，
因为$AD = 1$，$BD = 4$，
所以$CD^{2}=1×4 = 4$，
则$CD=\sqrt{4}=2$。
答案：A
由射影定理得$CD^{2}=AD · BD$，
因为$AD = 1$，$BD = 4$，
所以$CD^{2}=1×4 = 4$，
则$CD=\sqrt{4}=2$。
答案：A
10. 如图，$M$ 是 $Rt△ ABC$ 的斜边 $BC$ 上异于 $B$，$C$ 的一定点，过 $M$ 点作直线截 $△ ABC$，使截得的三角形与 $△ ABC$ 相似，这样的直线共有(
A.$1$ 条
B.$2$ 条
C.$3$ 条
D.$4$ 条
C
)A.$1$ 条
B.$2$ 条
C.$3$ 条
D.$4$ 条
答案：10. C
解析：
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$M$为斜边$BC$上异于$B$、$C$的点。
过点$M$作$MD// AB$交$AC$于$D$，则$△ CDM∼△ CAB$；
过点$M$作$ME// AC$交$AB$于$E$，则$△ BEM∼△ BAC$；
过点$M$作$MF⊥ BC$交$AB$或$AC$于$F$，则$△ BFM∼△ BCA$或$△ CFM∼△ CBA$。
综上，这样的直线共有3条。
C
过点$M$作$MD// AB$交$AC$于$D$，则$△ CDM∼△ CAB$；
过点$M$作$ME// AC$交$AB$于$E$，则$△ BEM∼△ BAC$；
过点$M$作$MF⊥ BC$交$AB$或$AC$于$F$，则$△ BFM∼△ BCA$或$△ CFM∼△ CBA$。
综上，这样的直线共有3条。
C
11. 如图，已知在 $△ ABC$ 中，$DE// BC$，若 $\frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}$，$DE = 2$，则 $BC$ 的长为
6
.答案：11. 6.
解析：
证明：因为 $DE // BC$，所以 $△ ADE ∼ △ ABC$。
所以 $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$。
已知 $\frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}$，$DE = 2$，
则 $\frac{2}{BC} = \frac{1}{3}$，
解得 $BC = 6$。
故答案为：$6$。
所以 $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$。
已知 $\frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}$，$DE = 2$，
则 $\frac{2}{BC} = \frac{1}{3}$，
解得 $BC = 6$。
故答案为：$6$。
12. 如图，已知铁道口栏杆的短臂长为 $1.2m$，长臂长为 $8m$，当短臂端点下降 $0.6m$ 时，长臂端点升高
4
$m$(杆的粗细忽略不计).答案：12. 4.
解析：
解：设长臂端点升高 $ h $ m。
由题意知，栏杆转动过程中，短臂端点下降的高度与长臂端点升高的高度所构成的两个直角三角形相似。
则 $\frac{0.6}{1.2} = \frac{h}{8}$，
解得 $ h = 4 $。
4
由题意知，栏杆转动过程中，短臂端点下降的高度与长臂端点升高的高度所构成的两个直角三角形相似。
则 $\frac{0.6}{1.2} = \frac{h}{8}$，
解得 $ h = 4 $。
4
13. 如图，$AD$ 为 $△ ABC$ 的角平分线，$DE// AB$ 交 $AC$ 于点 $E$，如果 $\frac{AE}{EC} = \frac{2}{3}$，那么 $\frac{AB}{AC} =$
$\frac{2}{3}$
.答案：13. $\frac{2}{3}$
14. 如图，已知在 $△ ABC$ 中，$E$ 是 $AB$ 边的中点，点 $F$ 在 $AC$ 边上，若以 $A$，$E$，$F$ 为顶点的三角形与 $△ ABC$ 相似，则需要添加的一个条件是
答案不唯一，$AF=\frac{1}{2}AC$ 或 $F$ 是 $AC$ 的中点或 $EF// BC$ 或 $∠ AFE=∠ ACB$ 或 $∠ AEF=∠ ABC$ 或 $AE:AB=AF:AC$ 等
(写出一个即可).答案：14. 答案不唯一，$AF=\frac{1}{2}AC$ 或 $F$ 是 $AC$ 的中点或 $EF// BC$ 或 $∠ AFE=∠ ACB$ 或 $∠ AEF=∠ ABC$ 或 $AE:AB=AF:AC$ 等.
解析：
$EF // BC$
15. 已知 $△ ABC∽△ DEF$，$AB:DE = 2:3$，则 $S_{△ ABC}$ 与 $S_{△ DEF}$ 之比为
$4:9$
.答案：15. $4:9$.
16. 把一张矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为
$\sqrt{2}:1$
.答案：16. $\sqrt{2}:1$.
解析：
设原矩形的长为$a$，宽为$b$，且$a ＞ b$。
对折后矩形的长为$b$，宽为$\frac{a}{2}$。
因为对折后的矩形与原矩形相似，所以$\frac{a}{b} = \frac{b}{\frac{a}{2}}$，即$a^2 = 2b^2$，$\frac{a^2}{b^2} = 2$，$\frac{a}{b} = \sqrt{2}$。
故原矩形纸片的长与宽之比为$\sqrt{2}:1$。
对折后矩形的长为$b$，宽为$\frac{a}{2}$。
因为对折后的矩形与原矩形相似，所以$\frac{a}{b} = \frac{b}{\frac{a}{2}}$，即$a^2 = 2b^2$，$\frac{a^2}{b^2} = 2$，$\frac{a}{b} = \sqrt{2}$。
故原矩形纸片的长与宽之比为$\sqrt{2}:1$。
17. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$F$ 是 $DC$ 上一点，$BF⊥ AC$，垂足为 $E$，$\frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}$，$△ CEF$ 的面积为 $S_1$，$△ AEB$ 的面积为 $S_2$，则 $\frac{S_1}{S_2}$ 的值等于
$\frac{1}{16}$
.答案：17. $\frac{1}{16}$.
解析：
解：设 $AD = a$，则 $AB = 2a$。
在矩形 $ABCD$ 中，$AB // CD$，$∠ ABC = 90°$，
$\therefore △ AEB ∼ △ CEF$（对顶角相等，内错角相等）。
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{5}a$，
由面积法得 $BE = \frac{AB · BC}{AC} = \frac{2a · a}{\sqrt{5}a} = \frac{2a}{\sqrt{5}}$，
$AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{(2a)^2 - (\frac{2a}{\sqrt{5}})^2} = \frac{4a}{\sqrt{5}}$，
$CE = AC - AE = \sqrt{5}a - \frac{4a}{\sqrt{5}} = \frac{a}{\sqrt{5}}$，
$\therefore \frac{CE}{AE} = \frac{1}{4}$。
$\because △ AEB ∼ △ CEF$，相似比为 $\frac{CE}{AE} = \frac{1}{4}$，
$\therefore \frac{S_1}{S_2} = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$。
$\frac{1}{16}$
在矩形 $ABCD$ 中，$AB // CD$，$∠ ABC = 90°$，
$\therefore △ AEB ∼ △ CEF$（对顶角相等，内错角相等）。
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{5}a$，
由面积法得 $BE = \frac{AB · BC}{AC} = \frac{2a · a}{\sqrt{5}a} = \frac{2a}{\sqrt{5}}$，
$AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{(2a)^2 - (\frac{2a}{\sqrt{5}})^2} = \frac{4a}{\sqrt{5}}$，
$CE = AC - AE = \sqrt{5}a - \frac{4a}{\sqrt{5}} = \frac{a}{\sqrt{5}}$，
$\therefore \frac{CE}{AE} = \frac{1}{4}$。
$\because △ AEB ∼ △ CEF$，相似比为 $\frac{CE}{AE} = \frac{1}{4}$，
$\therefore \frac{S_1}{S_2} = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$。
$\frac{1}{16}$
18. 如图，已知等腰 $△ ABC$ 的顶角 $∠ BAC$ 的大小为 $θ$，点 $D$ 为边 $BC$ 上的动点(与 $B$，$C$ 不重合)，将 $AD$ 绕点 $A$ 沿顺时针方向旋转 $θ$ 角度时点 $D$ 落在 $D'$ 处，连接 $BD'$. 给出下列结论：① $△ ACD≌△ ABD'$；② $△ ACB∽△ ADD'$；③ 当 $BD = CD$ 时，$△ ADD'$ 的面积取得最小值. 其中正确的结论有
①②③
(填结论对应的序号).答案：18. ①②③.
解析：
证明：①
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=θ，
∴AB=AC，
∵AD绕点A顺时针旋转θ得到AD'，
∴AD=AD'，∠DAD'=θ=∠BAC，
∴∠BAC - ∠BAD = ∠DAD' - ∠BAD，即∠CAD=∠BAD'，
在△ACD和△ABD'中，
$\{\begin{array}{l} AC=AB\\ ∠CAD=∠BAD'\\ AD=AD'\end{array} $，
∴△ACD≌△ABD'(SAS)，故①正确；
②
∵AB=AC，AD=AD'，∠BAC=∠DAD'=θ，
∴$\frac{AC}{AB}=1$，$\frac{AD}{AD'}=1$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AD'}$，
又
∵∠BAC=∠DAD'，
∴△ACB∽△ADD'，故②正确；
③设AB=AC=a，AD=x，
∵△ACB∽△ADD'，
∴$\frac{S_{△ADD'}}{S_{△ACB}}=(\frac{AD}{AC})^2=(\frac{x}{a})^2$，
∴$S_{△ADD'}=(\frac{x^2}{a^2})S_{△ACB}$，
当AD最小时，$S_{△ADD'}$最小，
∵点D在BC上运动，
∴当AD⊥BC时，AD最小，此时BD=CD，
∴当BD=CD时，△ADD'的面积取得最小值，故③正确.
综上，正确的结论有①②③.
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=θ，
∴AB=AC，
∵AD绕点A顺时针旋转θ得到AD'，
∴AD=AD'，∠DAD'=θ=∠BAC，
∴∠BAC - ∠BAD = ∠DAD' - ∠BAD，即∠CAD=∠BAD'，
在△ACD和△ABD'中，
$\{\begin{array}{l} AC=AB\\ ∠CAD=∠BAD'\\ AD=AD'\end{array} $，
∴△ACD≌△ABD'(SAS)，故①正确；
②
∵AB=AC，AD=AD'，∠BAC=∠DAD'=θ，
∴$\frac{AC}{AB}=1$，$\frac{AD}{AD'}=1$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AD'}$，
又
∵∠BAC=∠DAD'，
∴△ACB∽△ADD'，故②正确；
③设AB=AC=a，AD=x，
∵△ACB∽△ADD'，
∴$\frac{S_{△ADD'}}{S_{△ACB}}=(\frac{AD}{AC})^2=(\frac{x}{a})^2$，
∴$S_{△ADD'}=(\frac{x^2}{a^2})S_{△ACB}$，
当AD最小时，$S_{△ADD'}$最小，
∵点D在BC上运动，
∴当AD⊥BC时，AD最小，此时BD=CD，
∴当BD=CD时，△ADD'的面积取得最小值，故③正确.
综上，正确的结论有①②③.