4. 计算：
（1）$2\sin60^{\circ}+3\tan30^{\circ}$；
（2）$2\sin30^{\circ}·\tan30^{\circ}·\cos30^{\circ}$；
（3）$2\sin30^{\circ}+3\cos60^{\circ}-4\tan45^{\circ}$；
（4）$\dfrac{\cos^{2}30^{\circ}}{1+\sin30^{\circ}}+\tan^{2}60^{\circ}$.
（1）$2\sin60^{\circ}+3\tan30^{\circ}$；
（2）$2\sin30^{\circ}·\tan30^{\circ}·\cos30^{\circ}$；
（3）$2\sin30^{\circ}+3\cos60^{\circ}-4\tan45^{\circ}$；
（4）$\dfrac{\cos^{2}30^{\circ}}{1+\sin30^{\circ}}+\tan^{2}60^{\circ}$.
答案：4. (1) $2\sqrt{3}$；(2) $\frac{1}{2}$；(3) $-\frac{3}{2}$；(4) $\frac{7}{2}$
解析：
（1）$2\sin60^{\circ}+3\tan30^{\circ}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}+3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$；
（2）$2\sin30^{\circ}·\tan30^{\circ}·\cos30^{\circ}=2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=1×\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$；
（3）$2\sin30^{\circ}+3\cos60^{\circ}-4\tan45^{\circ}=2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{2}-4×1=1+\frac{3}{2}-4=-\frac{3}{2}$；
（4）$\dfrac{\cos^{2}30^{\circ}}{1+\sin30^{\circ}}+\tan^{2}60^{\circ}=\frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}{1+\frac{1}{2}}+(\sqrt{3})^{2}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}}+3=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}$.
（2）$2\sin30^{\circ}·\tan30^{\circ}·\cos30^{\circ}=2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=1×\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$；
（3）$2\sin30^{\circ}+3\cos60^{\circ}-4\tan45^{\circ}=2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{2}-4×1=1+\frac{3}{2}-4=-\frac{3}{2}$；
（4）$\dfrac{\cos^{2}30^{\circ}}{1+\sin30^{\circ}}+\tan^{2}60^{\circ}=\frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}{1+\frac{1}{2}}+(\sqrt{3})^{2}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}}+3=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}$.
5. 在$△ ABC$中，锐角$A$，$B$满足$\left|\sin A-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right|+(\tan B-1)^{2}=0$，请判断$△ ABC$的形状.
答案：5. 等腰直角三角形
解析：
因为$\left|\sin A - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right| + (\tan B - 1)^2 = 0$，且绝对值和平方数均为非负数，所以$\sin A - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0$，$\tan B - 1 = 0$。
由$\sin A = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且$A$为锐角，得$A = 45°$。
由$\tan B = 1$，且$B$为锐角，得$B = 45°$。
所以$C = 180° - A - B = 180° - 45° - 45° = 90°$。
因此，$△ ABC$是等腰直角三角形。
由$\sin A = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且$A$为锐角，得$A = 45°$。
由$\tan B = 1$，且$B$为锐角，得$B = 45°$。
所以$C = 180° - A - B = 180° - 45° - 45° = 90°$。
因此，$△ ABC$是等腰直角三角形。
自主探究
问题 如图，已知在$△ ABC$中，$∠ B=60^{\circ}$，$∠ C=45^{\circ}$，$BC=20$.求$S_{△ ABC}$.
名师指导
由三角形的面积公式，可作$BC$边上的高$AD$，从而把特殊角$∠ B$和$∠ C$分别放在直角三角形中，利用这两个特殊角的三角函数值可求出高$AD$.
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
问题 如图，已知在$△ ABC$中，$∠ B=60^{\circ}$，$∠ C=45^{\circ}$，$BC=20$.求$S_{△ ABC}$.
名师指导
由三角形的面积公式，可作$BC$边上的高$AD$，从而把特殊角$∠ B$和$∠ C$分别放在直角三角形中，利用这两个特殊角的三角函数值可求出高$AD$.
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案：解：作$AD⊥ BC$于点$D$。
设$AD = x$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ B = 60^{\circ}$，$\tan B=\frac{AD}{BD}$，则$BD=\frac{AD}{\tan B}=\frac{x}{\tan60^{\circ}}=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}x$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ C = 45^{\circ}$，$\tan C=\frac{AD}{CD}$，因为$\tan45^{\circ}=1$，所以$CD = AD=x$。
因为$BC = BD + CD$，$BC = 20$，所以$\frac{\sqrt{3}}{3}x+x = 20$，即$(\frac{\sqrt{3}}{3}+1)x = 20$，$x=\frac{20}{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}=\frac{20(3)}{ \sqrt{3}+3}=\frac{60}{ \sqrt{3}+3}=\frac{60(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}=\frac{60(3 - \sqrt{3})}{9 - 3}=\frac{60(3 - \sqrt{3})}{6}=10(3 - \sqrt{3}) = 30 - 10\sqrt{3}$。
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$，把$BC = 20$，$AD = 30 - 10\sqrt{3}$代入可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×20×(30 - 10\sqrt{3})=10×(30 - 10\sqrt{3})=300 - 100\sqrt{3}$。
综上，$S_{△ ABC}=300 - 100\sqrt{3}$。
设$AD = x$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ B = 60^{\circ}$，$\tan B=\frac{AD}{BD}$，则$BD=\frac{AD}{\tan B}=\frac{x}{\tan60^{\circ}}=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}x$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ C = 45^{\circ}$，$\tan C=\frac{AD}{CD}$，因为$\tan45^{\circ}=1$，所以$CD = AD=x$。
因为$BC = BD + CD$，$BC = 20$，所以$\frac{\sqrt{3}}{3}x+x = 20$，即$(\frac{\sqrt{3}}{3}+1)x = 20$，$x=\frac{20}{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}=\frac{20(3)}{ \sqrt{3}+3}=\frac{60}{ \sqrt{3}+3}=\frac{60(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}=\frac{60(3 - \sqrt{3})}{9 - 3}=\frac{60(3 - \sqrt{3})}{6}=10(3 - \sqrt{3}) = 30 - 10\sqrt{3}$。
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$，把$BC = 20$，$AD = 30 - 10\sqrt{3}$代入可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×20×(30 - 10\sqrt{3})=10×(30 - 10\sqrt{3})=300 - 100\sqrt{3}$。
综上，$S_{△ ABC}=300 - 100\sqrt{3}$。
解析：
作BC边上的高AD，设AD=h，BD=x，则DC=20-x。
在Rt△ABD中，∠B=60°，tan60°=AD/BD，即√3=h/x，得h=x√3。
在Rt△ACD中，∠C=45°，tan45°=AD/DC，即1=h/(20-x)，得h=20-x。
联立h=x√3与h=20-x，得x√3=20-x，x(√3+1)=20，x=20/(√3+1)=10(√3-1)。
则h=20-x=20-10(√3-1)=30-10√3。
S△ABC=1/2×BC×AD=1/2×20×(30-10√3)=10×(30-10√3)=300-100√3。
在Rt△ABD中，∠B=60°，tan60°=AD/BD，即√3=h/x，得h=x√3。
在Rt△ACD中，∠C=45°，tan45°=AD/DC，即1=h/(20-x)，得h=20-x。
联立h=x√3与h=20-x，得x√3=20-x，x(√3+1)=20，x=20/(√3+1)=10(√3-1)。
则h=20-x=20-10(√3-1)=30-10√3。
S△ABC=1/2×BC×AD=1/2×20×(30-10√3)=10×(30-10√3)=300-100√3。
1. 已知$α$为锐角，且$\sin(α -10^{\circ})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，则$α$等于(
A.$45^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$65^{\circ}$
B
)A.$45^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$65^{\circ}$
答案：1. B
解析：
因为$\sin(α - 10^{\circ})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且$α$为锐角，所以$α - 10^{\circ}=45^{\circ}$，则$α=45^{\circ}+10^{\circ}=55^{\circ}$。
B
B
2. 若等腰三角形的底边长和腰长之比为$\sqrt{3}:1$，则这个等腰三角形的顶角度数为(
A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$120^{\circ}$
D
)A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$120^{\circ}$
答案：2. D
解析：
设等腰三角形的腰长为$a$，则底边长为$\sqrt{3}a$。
过顶点作底边的垂线，将等腰三角形分为两个全等的直角三角形，底边上的高为$h$。
根据勾股定理：$h^2 + (\frac{\sqrt{3}a}{2})^2 = a^2$，解得$h = \frac{a}{2}$。
在直角三角形中，$\sin(\frac{θ}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$（$θ$为顶角），所以$\frac{θ}{2} = 60°$，$θ = 120°$。
D
过顶点作底边的垂线，将等腰三角形分为两个全等的直角三角形，底边上的高为$h$。
根据勾股定理：$h^2 + (\frac{\sqrt{3}a}{2})^2 = a^2$，解得$h = \frac{a}{2}$。
在直角三角形中，$\sin(\frac{θ}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$（$θ$为顶角），所以$\frac{θ}{2} = 60°$，$θ = 120°$。
D
3. 如图，已知$45^{\circ}＜∠ A＜90^{\circ}$，则下列各式成立的是(
A.$\sin A=\cos$$A$
B.$\sin A＞\cos A$
C.$\sin A＞\tan A$
D.$\sin A＜\cos A$
B
)A.$\sin A=\cos$$A$
B.$\sin A＞\cos A$
C.$\sin A＞\tan A$
D.$\sin A＜\cos A$
答案：3. B
解析：
当$45^{\circ}＜∠A＜90^{\circ}$时，根据三角函数的性质：
在$0^{\circ}到90^{\circ}$范围内，$\sin A$随角度增大而增大，$\cos A$随角度增大而减小。
当$∠A = 45^{\circ}$时，$\sin A=\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为$∠A＞45^{\circ}$，所以$\sin A＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos A＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$\sin A＞\cos A$。
B
在$0^{\circ}到90^{\circ}$范围内，$\sin A$随角度增大而增大，$\cos A$随角度增大而减小。
当$∠A = 45^{\circ}$时，$\sin A=\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为$∠A＞45^{\circ}$，所以$\sin A＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos A＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$\sin A＞\cos A$。
B
4. 计算：$\tan60^{\circ}·\sin60^{\circ}-\cos30^{\circ}·\tan45^{\circ}=$
$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$
；$\dfrac{\tan30^{\circ}+\sin60^{\circ}}{1-\cos60^{\circ}}=$$\frac{5\sqrt{3}}{3}$
.答案：4. $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$；$\frac{5\sqrt{3}}{3}$
解析：
$\tan60^{\circ}·\sin60^{\circ}-\cos30^{\circ}·\tan45^{\circ}$
$=\sqrt{3}·\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}·1$
$=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$；
$\dfrac{\tan30^{\circ}+\sin60^{\circ}}{1-\cos60^{\circ}}$
$=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{1}{2}}$
$=\dfrac{\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{6}}{\frac{1}{2}}$
$=\dfrac{\frac{5\sqrt{3}}{6}}{\frac{1}{2}}$
$=\frac{5\sqrt{3}}{3}$
$=\sqrt{3}·\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}·1$
$=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$；
$\dfrac{\tan30^{\circ}+\sin60^{\circ}}{1-\cos60^{\circ}}$
$=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{1}{2}}$
$=\dfrac{\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{6}}{\frac{1}{2}}$
$=\dfrac{\frac{5\sqrt{3}}{6}}{\frac{1}{2}}$
$=\frac{5\sqrt{3}}{3}$