4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$\tan A=\dfrac{3}{4}$，且$△ ABC$的周长为$24$，求$△ ABC$的面积.
答案：4. 24
解析：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$\tan A=\dfrac{3}{4}$，设$BC=3k$，$AC=4k$（$k＞0$）。
由勾股定理得$AB=\sqrt{(3k)^{2}+(4k)^{2}}=5k$。
因为$△ ABC$的周长为$24$，所以$3k + 4k + 5k=24$，解得$k=2$。
则$BC=3k=6$，$AC=4k=8$。
$△ ABC$的面积为$\dfrac{1}{2}× AC× BC=\dfrac{1}{2}×8×6=24$。
24
由勾股定理得$AB=\sqrt{(3k)^{2}+(4k)^{2}}=5k$。
因为$△ ABC$的周长为$24$，所以$3k + 4k + 5k=24$，解得$k=2$。
则$BC=3k=6$，$AC=4k=8$。
$△ ABC$的面积为$\dfrac{1}{2}× AC× BC=\dfrac{1}{2}×8×6=24$。
24
5. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$BC=8$，$\tan B=\dfrac{1}{2}$，点$D$在$BC$上，且$BD=AD$.求$AC$的长和$\cos∠ ADC$的值.
答案：5. $AC = 4$，$\cos∠ ADC=\frac{3}{5}$
解析：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$BC=8$，$\tan B=\dfrac{1}{2}$。
因为$\tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{1}{2}$，所以$\dfrac{AC}{8}=\dfrac{1}{2}$，解得$AC=4$。
设$AD=BD=x$，则$CD=BC-BD=8 - x$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=4$，$CD=8 - x$，$AD=x$，由勾股定理得$AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}$，即$4^{2}+(8 - x)^{2}=x^{2}$。
展开得$16 + 64 - 16x + x^{2}=x^{2}$，化简得$80 - 16x=0$，解得$x=5$。
所以$CD=8 - 5=3$，$AD=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\cos∠ ADC=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{3}{5}$。
$AC=4$，$\cos∠ ADC=\dfrac{3}{5}$
因为$\tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{1}{2}$，所以$\dfrac{AC}{8}=\dfrac{1}{2}$，解得$AC=4$。
设$AD=BD=x$，则$CD=BC-BD=8 - x$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=4$，$CD=8 - x$，$AD=x$，由勾股定理得$AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}$，即$4^{2}+(8 - x)^{2}=x^{2}$。
展开得$16 + 64 - 16x + x^{2}=x^{2}$，化简得$80 - 16x=0$，解得$x=5$。
所以$CD=8 - 5=3$，$AD=5$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\cos∠ ADC=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{3}{5}$。
$AC=4$，$\cos∠ ADC=\dfrac{3}{5}$
6. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫作底角的邻对($\mathrm{can}$).如图(1)，在$△ ABC$中，$AB=AC$，底角$∠ B$的邻对记作$\mathrm{can}B$，这时$\mathrm{can}B=\dfrac{\mathrm{底边}}{\mathrm{腰}}=\dfrac{BC}{AB}$.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
(1)$\mathrm{can}30^{\circ}=$
(2)如图(2)，已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$\mathrm{can}B=\dfrac{8}{5}$，$S_{△ ABC}=24$，求$△ ABC$的周长.
(1)$\mathrm{can}30^{\circ}=$
$\sqrt{3}$
.(2)如图(2)，已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$\mathrm{can}B=\dfrac{8}{5}$，$S_{△ ABC}=24$，求$△ ABC$的周长.
答案：
6. (1) 过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，$\because∠ B = 30^{\circ}$，$\therefore\cos∠ B=\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore BD=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$. $\because△ ABC$是等腰三角形，$\therefore BC = 2BD=\sqrt{3}AB$，故$\tan 30^{\circ}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$. (2) 过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$，$\because\tan B=\frac{8}{5}$，则可设$BC = 8x$，$AB = 5x$，$\therefore AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}} = 3x$. $\because S_{△ ABC}=24$，$\therefore\frac{1}{2}BC× AE = 12x^{2}=24$，解得$x=\sqrt{2}$，故$AB = AC = 5\sqrt{2}$，$BC = 8\sqrt{2}$，从而可得$△ ABC$的周长为$18\sqrt{2}$.
6. (1) 过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，$\because∠ B = 30^{\circ}$，$\therefore\cos∠ B=\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore BD=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$. $\because△ ABC$是等腰三角形，$\therefore BC = 2BD=\sqrt{3}AB$，故$\tan 30^{\circ}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$. (2) 过点$A$作$AE⊥ BC$于点$E$，$\because\tan B=\frac{8}{5}$，则可设$BC = 8x$，$AB = 5x$，$\therefore AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}} = 3x$. $\because S_{△ ABC}=24$，$\therefore\frac{1}{2}BC× AE = 12x^{2}=24$，解得$x=\sqrt{2}$，故$AB = AC = 5\sqrt{2}$，$BC = 8\sqrt{2}$，从而可得$△ ABC$的周长为$18\sqrt{2}$.
自主拓展
要求$\tan30^{\circ}$的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作$\mathrm{Rt}△ ABC$，使$∠ C=90^{\circ}$，斜边$AB=2$，直角边$AC=1$，那么$BC=\sqrt{3}$，$∠ ABC=30^{\circ}$，得$\tan30^{\circ}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出$\tan15^{\circ}$的值.请简要写出你添加的辅助线并求出$\tan15^{\circ}$的值.
要求$\tan30^{\circ}$的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作$\mathrm{Rt}△ ABC$，使$∠ C=90^{\circ}$，斜边$AB=2$，直角边$AC=1$，那么$BC=\sqrt{3}$，$∠ ABC=30^{\circ}$，得$\tan30^{\circ}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出$\tan15^{\circ}$的值.请简要写出你添加的辅助线并求出$\tan15^{\circ}$的值.
答案：
解析：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=30°。在CB的延长线上截取BD=AB=2，连接AD。
∵BD=AB，
∴∠D=∠BAD。
∵∠ABC=∠D+∠BAD=30°，
∴∠D=15°。
∵DC=BD+BC=2+$\sqrt{3}$，AC=1，
∴tan15°=tan∠D=$\frac{AC}{DC}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$。
∵BD=AB，
∴∠D=∠BAD。
∵∠ABC=∠D+∠BAD=30°，
∴∠D=15°。
∵DC=BD+BC=2+$\sqrt{3}$，AC=1，
∴tan15°=tan∠D=$\frac{AC}{DC}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$。
1. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，有三点$A(0,1)$，$B(4,1)$，$C(5,6)$，则$\sin∠ BAC=$(
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{13}}{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C
)A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{13}}{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
答案：1. C
解析：
解：已知点$A(0,1)$，$B(4,1)$，$C(5,6)$。
向量$\overrightarrow{AB}=(4-0,1-1)=(4,0)$，向量$\overrightarrow{AC}=(5-0,6-1)=(5,5)$。
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2 + 0^2}=4$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{5^2 + 5^2}=5\sqrt{2}$。
$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=4×5 + 0×5=20$。
$\cos∠ BAC=\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{20}{4×5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为$∠ BAC$为三角形内角，所以$∠ BAC=45°$，则$\sin∠ BAC=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
C
向量$\overrightarrow{AB}=(4-0,1-1)=(4,0)$，向量$\overrightarrow{AC}=(5-0,6-1)=(5,5)$。
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2 + 0^2}=4$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{5^2 + 5^2}=5\sqrt{2}$。
$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=4×5 + 0×5=20$。
$\cos∠ BAC=\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{20}{4×5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为$∠ BAC$为三角形内角，所以$∠ BAC=45°$，则$\sin∠ BAC=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
C
2. $\sin30^{\circ}=$
$\frac{1}{2}$
，$\tan45^{\circ}=$1
.答案：2. $\frac{1}{2}$；1
3. 若$∠ A$是锐角，$\cos A=\dfrac{1}{2}$，则$∠ A=$
$60^{\circ}$
；若$∠ B$是锐角，$\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，则$∠ B=$$45^{\circ}$
.答案：3. $60^{\circ}$；$45^{\circ}$