6. 如图，已知 $ A(-4,2) $，$ B(n,-4) $ 是一次函数 $ y = kx + b $ 和反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图象的两个交点.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求 $ △ AOB $ 的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式 $ kx + b - \frac{m}{x} ＜ 0 $ 的解集.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求 $ △ AOB $ 的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式 $ kx + b - \frac{m}{x} ＜ 0 $ 的解集.
答案：6. (1) 一次函数解析式为 $ y = -x - 2 $，反比例函数解析式为 $ y = -\dfrac{8}{x} $；(2) 6；(3) $ -4 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $.
解析：
（1）解：因为点$A(-4,2)$在反比例函数$y = \frac{m}{x}$上，所以$2 = \frac{m}{-4}$，解得$m = -8$，反比例函数解析式为$y = -\frac{8}{x}$。
点$B(n,-4)$在反比例函数上，所以$-4 = \frac{-8}{n}$，解得$n = 2$，即$B(2,-4)$。
将$A(-4,2)$，$B(2,-4)$代入一次函数$y = kx + b$，得$\begin{cases}-4k + b = 2 \\ 2k + b = -4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1 \\ b = -2\end{cases}$，一次函数解析式为$y = -x - 2$。
（2）解：设直线$AB$与$x$轴交于点$C$，令$y = 0$，则$-x - 2 = 0$，$x = -2$，所以$C(-2,0)$。
$S_{△ AOB} = S_{△ AOC} + S_{△ BOC} = \frac{1}{2} × |-2| × 2 + \frac{1}{2} × |-2| × 4 = 2 + 4 = 6$。
（3）$-4 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 2$
点$B(n,-4)$在反比例函数上，所以$-4 = \frac{-8}{n}$，解得$n = 2$，即$B(2,-4)$。
将$A(-4,2)$，$B(2,-4)$代入一次函数$y = kx + b$，得$\begin{cases}-4k + b = 2 \\ 2k + b = -4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1 \\ b = -2\end{cases}$，一次函数解析式为$y = -x - 2$。
（2）解：设直线$AB$与$x$轴交于点$C$，令$y = 0$，则$-x - 2 = 0$，$x = -2$，所以$C(-2,0)$。
$S_{△ AOB} = S_{△ AOC} + S_{△ BOC} = \frac{1}{2} × |-2| × 2 + \frac{1}{2} × |-2| × 4 = 2 + 4 = 6$。
（3）$-4 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 2$
自主探究
问题 如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，直线 $ y = 2x + n $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $，$ B $，与双曲线 $ y = \frac{4}{x} $ 在第一象限交于点 $ C(1,m) $.
（1）求 $ m $ 和 $ n $ 的值；
（2）过 $ x $ 轴上的点 $ D(3,0) $ 作平行于 $ y $ 轴的直线 $ l $，分别与直线 $ AB $ 和双曲线 $ y = \frac{4}{x} $ 交于点 $ P $，$ Q $，求 $ △ APQ $ 的面积.
名师指导
（1）由已知条件，根据点在双曲线上则点的坐标满足方程的关系，先将点 $ C $ 的坐标代入 $ y = \frac{4}{x} $，求出 $ m $ 的值；再将 $ C(1,m) $ 代入 $ y = 2x + n $ 即可求出 $ n $ 的值.
（2）求出点 $ A $，$ P $，$ Q $ 的坐标即可得到 $ △ APQ $ 的边 $ PQ $ 和 $ PQ $ 上的高 $ AD $ 的长，即可求得 $ △ APQ $ 的面积.
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
问题 如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，直线 $ y = 2x + n $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $，$ B $，与双曲线 $ y = \frac{4}{x} $ 在第一象限交于点 $ C(1,m) $.
（1）求 $ m $ 和 $ n $ 的值；
（2）过 $ x $ 轴上的点 $ D(3,0) $ 作平行于 $ y $ 轴的直线 $ l $，分别与直线 $ AB $ 和双曲线 $ y = \frac{4}{x} $ 交于点 $ P $，$ Q $，求 $ △ APQ $ 的面积.
名师指导
（1）由已知条件，根据点在双曲线上则点的坐标满足方程的关系，先将点 $ C $ 的坐标代入 $ y = \frac{4}{x} $，求出 $ m $ 的值；再将 $ C(1,m) $ 代入 $ y = 2x + n $ 即可求出 $ n $ 的值.
（2）求出点 $ A $，$ P $，$ Q $ 的坐标即可得到 $ △ APQ $ 的边 $ PQ $ 和 $ PQ $ 上的高 $ AD $ 的长，即可求得 $ △ APQ $ 的面积.
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案：（1）$ m = 4 $，$ n = 2 $；（2）$ \frac{40}{3} $。
解析：
（1）因为点 $ C(1,m) $ 在双曲线 $ y = \frac{4}{x} $ 上，所以将 $ x = 1 $ 代入 $ y = \frac{4}{x} $，得 $ m = \frac{4}{1} = 4 $。
将 $ C(1,4) $ 代入直线 $ y = 2x + n $，得 $ 4 = 2×1 + n $，解得 $ n = 2 $。
（2）对于直线 $ y = 2x + 2 $，令 $ y = 0 $，则 $ 0 = 2x + 2 $，解得 $ x = -1 $，所以点 $ A(-1,0) $。
直线 $ l $ 过点 $ D(3,0) $ 且平行于 $ y $ 轴，所以直线 $ l $ 的方程为 $ x = 3 $。
将 $ x = 3 $ 代入直线 $ y = 2x + 2 $，得 $ y = 2×3 + 2 = 8 $，所以点 $ P(3,8) $。
将 $ x = 3 $ 代入双曲线 $ y = \frac{4}{x} $，得 $ y = \frac{4}{3} $，所以点 $ Q(3,\frac{4}{3}) $。
$ PQ = 8 - \frac{4}{3} = \frac{20}{3} $，点 $ A $ 到直线 $ l $ 的距离为 $ 3 - (-1) = 4 $。
$ △APQ $ 的面积为 $ \frac{1}{2}×PQ×AD = \frac{1}{2}×\frac{20}{3}×4 = \frac{40}{3} $。
将 $ C(1,4) $ 代入直线 $ y = 2x + n $，得 $ 4 = 2×1 + n $，解得 $ n = 2 $。
（2）对于直线 $ y = 2x + 2 $，令 $ y = 0 $，则 $ 0 = 2x + 2 $，解得 $ x = -1 $，所以点 $ A(-1,0) $。
直线 $ l $ 过点 $ D(3,0) $ 且平行于 $ y $ 轴，所以直线 $ l $ 的方程为 $ x = 3 $。
将 $ x = 3 $ 代入直线 $ y = 2x + 2 $，得 $ y = 2×3 + 2 = 8 $，所以点 $ P(3,8) $。
将 $ x = 3 $ 代入双曲线 $ y = \frac{4}{x} $，得 $ y = \frac{4}{3} $，所以点 $ Q(3,\frac{4}{3}) $。
$ PQ = 8 - \frac{4}{3} = \frac{20}{3} $，点 $ A $ 到直线 $ l $ 的距离为 $ 3 - (-1) = 4 $。
$ △APQ $ 的面积为 $ \frac{1}{2}×PQ×AD = \frac{1}{2}×\frac{20}{3}×4 = \frac{40}{3} $。