17. (10分)如图，点$P$在$\triangle ABC$的内部，点$F$、$D$在$AB$上，点$E$、$I$在$AC$上，点$H$、$G$在$BC$上，$FG // AC$，$HI // AB$，$DE // BC$，且$\triangle FDP$、$\triangle IPE$、$\triangle PHG$的面积分别为$4$、$9$和$49$.求$\triangle ABC$的面积.
答案：解： 因为FG//AC ， HI//AB
所以∠FPD=∠IEP，∠FDP=∠IPE
所以△FDP∽△IPE
因为△FDP、△IPE的面积分别为4、 9
所以$\frac {S_{△FDP}}{S_{△IPE}}=(\frac {DP}{PE})²=\frac {4}{9}$
所以$\frac {DP}{PE}=\frac {2}{3}$
同理可得，$\frac {FP}{PG}=\frac {2}{7}$
设DP=2x ，则PE=3x .
因为DP//BC ， HI//AB
所以∠FPD=∠PGH ，∠DFP=∠HPG ，
所以△FDP∽△PHG
所以$\frac {DP}{HG}=\frac {FP}{PG}=\frac {2}{7}$
因为DP=2x，
所以HG=7x
因为FG//AC ， HI//AB ， DE//BC
所以四边形DPHB和四边形PECG都为平行四边形
所以BH=DP=2x，CG=PE=3x，
所以BC=BH+HG+CG=12x
因为DE//BC，FG//AC，
所以∠FDP=∠B ，∠DFP=∠A
所以△FDP∽△ABC
所以$\frac {S_{△FDP}}{S_{△ABC}}=(\frac {DP}{BC})²=(\frac {2x}{12x})²=\frac {1}{36}$
因为$S_{△FDP}=4 ，$
所以$S_{△ABC}= 144$
所以∠FPD=∠IEP，∠FDP=∠IPE
所以△FDP∽△IPE
因为△FDP、△IPE的面积分别为4、 9
所以$\frac {S_{△FDP}}{S_{△IPE}}=(\frac {DP}{PE})²=\frac {4}{9}$
所以$\frac {DP}{PE}=\frac {2}{3}$
同理可得，$\frac {FP}{PG}=\frac {2}{7}$
设DP=2x ，则PE=3x .
因为DP//BC ， HI//AB
所以∠FPD=∠PGH ，∠DFP=∠HPG ，
所以△FDP∽△PHG
所以$\frac {DP}{HG}=\frac {FP}{PG}=\frac {2}{7}$
因为DP=2x，
所以HG=7x
因为FG//AC ， HI//AB ， DE//BC
所以四边形DPHB和四边形PECG都为平行四边形
所以BH=DP=2x，CG=PE=3x，
所以BC=BH+HG+CG=12x
因为DE//BC，FG//AC，
所以∠FDP=∠B ，∠DFP=∠A
所以△FDP∽△ABC
所以$\frac {S_{△FDP}}{S_{△ABC}}=(\frac {DP}{BC})²=(\frac {2x}{12x})²=\frac {1}{36}$
因为$S_{△FDP}=4 ，$
所以$S_{△ABC}= 144$
18. (12分)如图，四边形$ABCD$和四边形$ACED$都是平行四边形，$R$是$DE$的中点，$BR$分别交$AC$、$CD$于点$P$、$Q$.
(1)请写出图中的相似三角形(相似比不为1)；
(2)求$BP:PQ:QR$.
(1)请写出图中的相似三角形(相似比不为1)；
(2)求$BP:PQ:QR$.
答案：
解：(1)△ABP∽△CQP∽△DQR，△BPC∽△BRE
(2)延长AD、$BR_{交于}F$
由平行四边形A BCD和平行四边形ACED
得AD//BC ， AB//CD， AC//DE ， AD= BC= CE，
所以$\frac {FR}{BR}=\frac {DF}{BE}=\frac {DR}{RE}=1，$DF=BE，
$\frac {QF}{BQ}=\frac {DF}{BC}=2$
$\frac {PF}{BP}=\frac {AF}{BC}=3$
即BP： (BP+ PQ+ PR)： (BP+ 2PQ+ 2PR)=1 ： 2： 3
设BP=x，则x+PQ+PR=2x，x+2PQ+PR=3x
得$PQ=\frac {1}{3}x，$$PR=\frac {2}{3}x$
所以BP： PQ ： QR=3：1： 2
解：(1)△ABP∽△CQP∽△DQR，△BPC∽△BRE
(2)延长AD、$BR_{交于}F$
由平行四边形A BCD和平行四边形ACED
得AD//BC ， AB//CD， AC//DE ， AD= BC= CE，
所以$\frac {FR}{BR}=\frac {DF}{BE}=\frac {DR}{RE}=1，$DF=BE，
$\frac {QF}{BQ}=\frac {DF}{BC}=2$
$\frac {PF}{BP}=\frac {AF}{BC}=3$
即BP： (BP+ PQ+ PR)： (BP+ 2PQ+ 2PR)=1 ： 2： 3
设BP=x，则x+PQ+PR=2x，x+2PQ+PR=3x
得$PQ=\frac {1}{3}x，$$PR=\frac {2}{3}x$
所以BP： PQ ： QR=3：1： 2