14. (8分)如图，将矩形纸片$ABCD$沿$AE$折叠，使点$D$落在边$BC$上的点$F$处.已知$AB = 3\ \mathrm{cm}$，$AD = 5\ \mathrm{cm}$，求$DE$的长.
答案：$14.\frac{5}{3}$
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB=CD=3\ \mathrm{cm}$，$AD=BC=5\ \mathrm{cm}$，$\angle B=\angle C=\angle D=90°$。
由折叠性质得：$AF=AD=5\ \mathrm{cm}$，$EF=DE$。
设$DE=EF=x\ \mathrm{cm}$，则$EC=(3 - x)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ABF$中，$BF=\sqrt{AF^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CF=BC - BF=5 - 4=1\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ECF$中，$EF^2=EC^2 + CF^2$，
即$x^2=(3 - x)^2 + 1^2$，
解得$x=\frac{5}{3}$。
$\therefore DE$的长为$\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$。
∵四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB=CD=3\ \mathrm{cm}$，$AD=BC=5\ \mathrm{cm}$，$\angle B=\angle C=\angle D=90°$。
由折叠性质得：$AF=AD=5\ \mathrm{cm}$，$EF=DE$。
设$DE=EF=x\ \mathrm{cm}$，则$EC=(3 - x)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ABF$中，$BF=\sqrt{AF^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CF=BC - BF=5 - 4=1\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ECF$中，$EF^2=EC^2 + CF^2$，
即$x^2=(3 - x)^2 + 1^2$，
解得$x=\frac{5}{3}$。
$\therefore DE$的长为$\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$。
15. (8分)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = 12\ \mathrm{cm}$，$AC = 16\ \mathrm{cm}$，矩形$DEFG$的顶点都在$\triangle ABC$的边上，且$DE:EF = 3:5$.求矩形$DEFG$的周长.
答案：
解：作AH⊥BC于H，
则AH//DE，DG//BC
所以$\frac {DE}{AH}=\frac {BD}{AB}=1-\frac {AD}{AB}=1-\frac {DG}{BC}$
$BC=\sqrt{12²+16²}=20\ \mathrm {cm}，$$AH=\frac {12×16}{20}=\frac {48}{5}\ \mathrm {cm}$
设$DE= 3x\ \mathrm {cm}，$
则$DG= EF = 5x\ \mathrm {cm}$
所以$\frac {3x}{\frac {48}{5}}=1-\frac {5x}{20}$
解得$x=\frac {16}{9}$
所以矩形DEFG的周长$= 2(DE+ DG)= 16x= \frac {256}{9}\ \mathrm {cm} .$
解：作AH⊥BC于H，
则AH//DE，DG//BC
所以$\frac {DE}{AH}=\frac {BD}{AB}=1-\frac {AD}{AB}=1-\frac {DG}{BC}$
$BC=\sqrt{12²+16²}=20\ \mathrm {cm}，$$AH=\frac {12×16}{20}=\frac {48}{5}\ \mathrm {cm}$
设$DE= 3x\ \mathrm {cm}，$
则$DG= EF = 5x\ \mathrm {cm}$
所以$\frac {3x}{\frac {48}{5}}=1-\frac {5x}{20}$
解得$x=\frac {16}{9}$
所以矩形DEFG的周长$= 2(DE+ DG)= 16x= \frac {256}{9}\ \mathrm {cm} .$
16. (9分)已知：如图，$AB$是$\odot O$的直径，点$C$在$\odot O$上，$CD ⊥ AB$，垂足为$D$，弦$CF$交$AB$于点$E$，$CD$的延长线交$AF$于点$G$.
求证：(1)$\angle ACD = \angle F$；(2)$AC^{2} = AG · AF$.
求证：(1)$\angle ACD = \angle F$；(2)$AC^{2} = AG · AF$.
答案：证明： (1)因为AB是○O的直径
所以∠ACB =90°
所以∠CAB+∠B=90°
因为CD⊥AB
所以∠CDA= 90°
所以∠CAB+∠ACD=90°
所以∠B=∠ACD
因为∠B=∠F
所以∠ACD=∠F
(2)因为∠ACD=∠F ，∠CAG=∠CAF
所以△ACG∽△AFC
所以$\frac {AC}{AF}=\frac {AG}{AC}$
所以AC²= AG×AF
所以∠ACB =90°
所以∠CAB+∠B=90°
因为CD⊥AB
所以∠CDA= 90°
所以∠CAB+∠ACD=90°
所以∠B=∠ACD
因为∠B=∠F
所以∠ACD=∠F
(2)因为∠ACD=∠F ，∠CAG=∠CAF
所以△ACG∽△AFC
所以$\frac {AC}{AF}=\frac {AG}{AC}$
所以AC²= AG×AF