14. 已知二次函数$y = (k - 1)x^{2} + (2 + 4k)x + 1 - 4k$（$k$为常数）的图像过点$A(4,0)$。
（1）求$k$的值；
（2）设该二次函数的图像的顶点为$B$，在$y$轴上确定一点$P$，使线段$AP、BP$之和最小，试求点$P$的坐标。
（1）求$k$的值；
（2）设该二次函数的图像的顶点为$B$，在$y$轴上确定一点$P$，使线段$AP、BP$之和最小，试求点$P$的坐标。
答案：解： (1)把A(4 ， 0)代入二次函数,得16(k-1)+4(2+4k)+1-4k=0
得$k=\frac {1}{4}$
$(2)y=-\frac {3}{4}x²+3x= -\frac {3}{4}(x-2)²+3 .$
所以B(2 ， 3)
A点关于y轴的对称点坐标是(-4 ， 0)
设过(-4， 0) ， (2 ， 3)两点的直线为y=mx+n，
$\begin{cases}{-4m+n=0 }\\{2m+n=3} \end{cases}$
解得$m=\frac {1}{2}，$n=2
所以该直线为$y=\frac {1}{2}x+2$
所以P点的坐标是(0 ， 2)
得$k=\frac {1}{4}$
$(2)y=-\frac {3}{4}x²+3x= -\frac {3}{4}(x-2)²+3 .$
所以B(2 ， 3)
A点关于y轴的对称点坐标是(-4 ， 0)
设过(-4， 0) ， (2 ， 3)两点的直线为y=mx+n，
$\begin{cases}{-4m+n=0 }\\{2m+n=3} \end{cases}$
解得$m=\frac {1}{2}，$n=2
所以该直线为$y=\frac {1}{2}x+2$
所以P点的坐标是(0 ， 2)
15. 如图，在矩形$OABC$中，$OA = 8$，$OC = 4$，$OA、OC$分别在$x$轴、$y$轴上，$D$为$OA$上一点，且$CD = AD$。
（1）若经过$B、C、D$三点的抛物线与$x$轴的另一个交点为$E$，请求出点$E$的坐标。
（2）在（1）中的抛物线上位于$x$轴上方的部分，是否存在一点$P$，使$\triangle PBC$的面积等于矩形$OABC$的面积？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）若经过$B、C、D$三点的抛物线与$x$轴的另一个交点为$E$，请求出点$E$的坐标。
（2）在（1）中的抛物线上位于$x$轴上方的部分，是否存在一点$P$，使$\triangle PBC$的面积等于矩形$OABC$的面积？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
答案：解：(1)设OD=x，则AD=CD=8-x
在$Rt\triangle OCD$中，由勾股定理得
$C{D}^2=O{D}^2+O{C}^2，$即${(8-x)}^2={x}^2+{4}^2$
解得x=3
∴OD=3
∴D(3，0)
∵OA=8，OC=4
∴B(8，-4)，C(0，-4)且抛物线过B，C点
∴抛物线的对称轴为x=4
∵D(3，0)
∴另一个交点E(5，0).
(2)不存在这样的点P，理由如下：
${S}_{矩形OABC}=OA·OB=32$
若存在这样的点P，设点P到BC的距离为h
则${S}_{△PBC}=\frac {1}{2}BC·h=32$
∴h=8
设抛物线的解析式为$y=a{x}^2+bx+c$
∵抛物线过B(8，-4)，C(0，-4)，D(3，0)
∴抛物线解析式为$y=-\frac {4}{15}{x}^2+\frac {32}{15}x-4=-\frac {4}{15}{(x-4)}^2+\frac {4}{15}$
∴p抛物线的顶点为(4，$\frac {4}{15})$
∴顶点到BC的距离为$4+\frac {4}{15}=\frac {64}{15}\lt 8$
∴不存在这样的点P，使$\triangle PBC$的面积等于矩形OABC的面积.
在$Rt\triangle OCD$中，由勾股定理得
$C{D}^2=O{D}^2+O{C}^2，$即${(8-x)}^2={x}^2+{4}^2$
解得x=3
∴OD=3
∴D(3，0)
∵OA=8，OC=4
∴B(8，-4)，C(0，-4)且抛物线过B，C点
∴抛物线的对称轴为x=4
∵D(3，0)
∴另一个交点E(5，0).
(2)不存在这样的点P，理由如下：
${S}_{矩形OABC}=OA·OB=32$
若存在这样的点P，设点P到BC的距离为h
则${S}_{△PBC}=\frac {1}{2}BC·h=32$
∴h=8
设抛物线的解析式为$y=a{x}^2+bx+c$
∵抛物线过B(8，-4)，C(0，-4)，D(3，0)
∴抛物线解析式为$y=-\frac {4}{15}{x}^2+\frac {32}{15}x-4=-\frac {4}{15}{(x-4)}^2+\frac {4}{15}$
∴p抛物线的顶点为(4，$\frac {4}{15})$
∴顶点到BC的距离为$4+\frac {4}{15}=\frac {64}{15}\lt 8$
∴不存在这样的点P，使$\triangle PBC$的面积等于矩形OABC的面积.