4. 如图，在$\triangle ABC$中，点$P$在边$AB$上，连接$CP$，下列条件中，不能判定$\triangle ACP\backsim\triangle ABC$的是(
A.$\angle ACP=\angle B$
B.$\angle APC=\angle ACB$
C.$AC^{2}=AP· AB$
D.$\frac{AC}{CP}=\frac{AB}{BC}$
D
)A.$\angle ACP=\angle B$
B.$\angle APC=\angle ACB$
C.$AC^{2}=AP· AB$
D.$\frac{AC}{CP}=\frac{AB}{BC}$
答案：4.D.
解析：
解：在$\triangle ACP$和$\triangle ABC$中，$\angle A$为公共角。
选项A：$\angle ACP = \angle B$，两角对应相等，可判定相似。
选项B：$\angle APC = \angle ACB$，两角对应相等，可判定相似。
选项C：$AC^2 = AP · AB$，即$\frac{AC}{AP} = \frac{AB}{AC}$，两边对应成比例且夹角相等，可判定相似。
选项D：$\frac{AC}{CP} = \frac{AB}{BC}$，无法确定夹角关系，不能判定相似。
D
选项A：$\angle ACP = \angle B$，两角对应相等，可判定相似。
选项B：$\angle APC = \angle ACB$，两角对应相等，可判定相似。
选项C：$AC^2 = AP · AB$，即$\frac{AC}{AP} = \frac{AB}{AC}$，两边对应成比例且夹角相等，可判定相似。
选项D：$\frac{AC}{CP} = \frac{AB}{BC}$，无法确定夹角关系，不能判定相似。
D
5. 判断题(正确的打“√”，错误的打“×”)：
(1) 矩形都相似；(
(2) 有一角对应相等的两个菱形相似；(
(3) 正方形都相似；(
(4) 等边三角形都相似；(
(5) 如果两条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.(
(1) 矩形都相似；(
×
)(2) 有一角对应相等的两个菱形相似；(
√
)(3) 正方形都相似；(
√
)(4) 等边三角形都相似；(
√
)(5) 如果两条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.(
√
)答案：×
√
√
√
√
√
√
√
√
6. 一个三角形三边之比为 $4:5:6$，与它相似的三角形周长为 $30\ \mathrm{cm}$，则与它相似的三角形各边长分别为
8 cm，10 cm,12 cm
.答案：$8\ \mathrm {cm}，$$10\ \mathrm {cm}，$$12\ \mathrm {cm}$
7. 在比例尺为 $1:50000$ 的地图上，一个多边形地区的周长为 $90\ \mathrm{cm}$，面积为 $480\ \mathrm{cm}^{2}$则这个地区的实际周长为
4.5×10⁴
$\mathrm{m}$，实际面积为1.2×10⁸
$\mathrm{m}^{2}$.答案：$4.5×{10}^4$
$1.2×{10}^8$
$1.2×{10}^8$
8. 如图，$BD$、$CE$ 是$\triangle ABC$ 的两条高，连接 $DE$.
求证：(1) $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$；
(2) $\triangle AED\backsim\triangle ACB$.
求证：(1) $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$；
(2) $\triangle AED\backsim\triangle ACB$.
答案：1. 证明$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$：
解：因为$BD$、$CE$是$\triangle ABC$的两条高，所以$\angle AEC = \angle ADB=90^{\circ}$。
又因为$\angle A=\angle A$（公共角），所以$\triangle AEC\backsim\triangle ADB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，所以$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
2. 证明$\triangle AED\backsim\triangle ACB$：
解：由（1）已证$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，且$\angle A=\angle A$（公共角）。
根据相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，所以$\triangle AED\backsim\triangle ACB$。
综上，（1）$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$得证；（2）$\triangle AED\backsim\triangle ACB$得证。
解：因为$BD$、$CE$是$\triangle ABC$的两条高，所以$\angle AEC = \angle ADB=90^{\circ}$。
又因为$\angle A=\angle A$（公共角），所以$\triangle AEC\backsim\triangle ADB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，所以$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
2. 证明$\triangle AED\backsim\triangle ACB$：
解：由（1）已证$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，且$\angle A=\angle A$（公共角）。
根据相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，所以$\triangle AED\backsim\triangle ACB$。
综上，（1）$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$得证；（2）$\triangle AED\backsim\triangle ACB$得证。
9. 已知：如图，矩形 $ABCD$ 的边长 $AB = 2,BC = 3$，$P$ 是边 $AD$ 上的一动点（与点 $A$、$D$ 不重合），$Q$ 是边 $BC$ 上的任意一点. 连接 $AQ$、$DQ$，过点 $P$ 作 $PE// DQ$，交 $AQ$ 于点 $E$，过点 $P$ 作 $PF// AQ$，交 $DQ$ 于点 $F$.
(1) 求证：$\triangle APE\backsim\triangle ADQ$.
(2) 设 $AP$ 的长为 $x$，试求$\triangle PEF$ 的面积 $S$ 关于 $x$ 的函数表达式，并求当点 $P$ 在何处时，$S$ 取得最大值.最大值为多少？
(1) 求证：$\triangle APE\backsim\triangle ADQ$.
(2) 设 $AP$ 的长为 $x$，试求$\triangle PEF$ 的面积 $S$ 关于 $x$ 的函数表达式，并求当点 $P$ 在何处时，$S$ 取得最大值.最大值为多少？
答案：证明： (1)因为PE//DQ
所以∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD
所以△APE∽△ADQ
(2)由(1)△APE∽△ADQ
同理可得△PDF∽△ADQ
相似比分别为$\frac {x}{3}，$$\frac {3-x}{3}$
所以面积比分别为$\frac {x²}{9}.\frac {(3-x)²}{9}$
$S_{△ADQ} =\frac {1}{2}×2×3=3$
所以$S_{△APE}=\frac {x²}{3}，$$S_{△PDF}=\frac {(3-x)²}{3}$
所以$S_{平行四边形PEQF}= 2S= 3-\frac {x²}{3}-\frac {(3-x)²}{3}$
所以$S= -\frac {1}{3}x²+x$
$S= -\frac {1}{3}(x-\frac {3}{2})²+\frac {3}{4}$
当$x=\frac {3}{2}$即AP的长为$\frac {3}{2}$时， S取得最大值，最大值是$\frac {3}{4}$
所以∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD
所以△APE∽△ADQ
(2)由(1)△APE∽△ADQ
同理可得△PDF∽△ADQ
相似比分别为$\frac {x}{3}，$$\frac {3-x}{3}$
所以面积比分别为$\frac {x²}{9}.\frac {(3-x)²}{9}$
$S_{△ADQ} =\frac {1}{2}×2×3=3$
所以$S_{△APE}=\frac {x²}{3}，$$S_{△PDF}=\frac {(3-x)²}{3}$
所以$S_{平行四边形PEQF}= 2S= 3-\frac {x²}{3}-\frac {(3-x)²}{3}$
所以$S= -\frac {1}{3}x²+x$
$S= -\frac {1}{3}(x-\frac {3}{2})²+\frac {3}{4}$
当$x=\frac {3}{2}$即AP的长为$\frac {3}{2}$时， S取得最大值，最大值是$\frac {3}{4}$