9. 如图,矩形$OABC$的顶点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图像上,顶点$B$、$C$在第一象限内,对角线$AC // x$轴,交$y$轴于点$D$.若矩形$OABC$的面积是 6,$\cos \angle OAC=\frac{2}{3}$,求$k$的值.
答案：解:因为$cos∠OAC=\frac {2}{3}$
所以$cos∠OAC=\frac {AD}{AO}=\frac {AO}{AC}=\frac {2}{3}$
设AD=2a，则AO=3a
所以$AC=\frac {9}{2}a$
所以$\frac {AD}{AC}=\frac {2a}{\frac {9}{2}a}=\frac {4}{9}$
所以$2S_{△AOD}=\frac {4}{9}×2×S_{△AOC}=\frac {8}{9}×6=\frac {8}{3}$
因为k＜0
所以$k=-\frac {8}{3}$
所以$cos∠OAC=\frac {AD}{AO}=\frac {AO}{AC}=\frac {2}{3}$
设AD=2a，则AO=3a
所以$AC=\frac {9}{2}a$
所以$\frac {AD}{AC}=\frac {2a}{\frac {9}{2}a}=\frac {4}{9}$
所以$2S_{△AOD}=\frac {4}{9}×2×S_{△AOC}=\frac {8}{9}×6=\frac {8}{3}$
因为k＜0
所以$k=-\frac {8}{3}$
例 1 对于锐角 $\alpha$，若 $\tan \alpha = \frac{3}{4}$，求 $\sin \alpha$、$\cos \alpha$ 的值.
答案：
解：如图所示，∠B=a， ∠C=90°
设AC=3x
在Rt△ABC中
因为AC=3x，$tana=\frac {AC}{BC}=\frac {3}{4}$
所以BC=4x
所以$AB=\sqrt{AC²+BC²}= 5x$
$sina=\frac {AC}{AB}=\frac {3}{5}$
$cosa=\frac {BC}{AB}=\frac {4}{5}$
解：如图所示，∠B=a， ∠C=90°
设AC=3x
在Rt△ABC中
因为AC=3x，$tana=\frac {AC}{BC}=\frac {3}{4}$
所以BC=4x
所以$AB=\sqrt{AC²+BC²}= 5x$
$sina=\frac {AC}{AB}=\frac {3}{5}$
$cosa=\frac {BC}{AB}=\frac {4}{5}$
例 2 在透明纸上画一个 $45^{\circ}$ 角，记为 $\angle AOB$，将 $\angle AOB$ 剪下，摆放在一把刻度尺上(图 7.2.2)，顶点 $O$ 与刻度尺下边缘的端点重合，$OA$ 与刻度尺下边缘重合，$OB$ 与刻度尺上边缘的交点 $B$ 在刻度尺上的读数为 $2\ \mathrm{cm}$. 若按相同的方式将 $37^{\circ}$ 的 $\angle AOC$ 放置在该刻度尺上，求 $OC$ 与刻度尺上边缘的交点 $C$ 在刻度尺上的读数.(精确到 $0.1\ \mathrm{cm}$；参考数据：$\sin 37^{\circ} \approx 0.60$，$\cos 37^{\circ} \approx 0.80$，$\tan 37^{\circ} \approx 0.75$)
答案：
解:过点B作BD⊥OA于D，
过点C作CE⊥OA于E.
在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，
所以$BD=OD=2\ \mathrm {cm}，$
所以$CE=BD=2\ \mathrm {cm}.$
在△COE中，∠CEO=90°， ∠COE=37°，
所以$tan_{37}°=\frac {CE}{OE}≈0.75，$
所以$OE≈2.7\ \mathrm {cm}.$
所以OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为$2.7\ \mathrm {cm}.$
解:过点B作BD⊥OA于D，
过点C作CE⊥OA于E.
在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，
所以$BD=OD=2\ \mathrm {cm}，$
所以$CE=BD=2\ \mathrm {cm}.$
在△COE中，∠CEO=90°， ∠COE=37°，
所以$tan_{37}°=\frac {CE}{OE}≈0.75，$
所以$OE≈2.7\ \mathrm {cm}.$
所以OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为$2.7\ \mathrm {cm}.$