7. 如图，在 $\mathrm{Rt} \triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD ⊥ AB$，垂足为 $D$. 已知 $AC = \sqrt{5}$，$BC = 2$，求 $\cos \angle ACD$ 的值.
答案： 解：因为∠ACB=90°，$AC=\sqrt{5}，$BC=2
所以$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+2^2}=3$
因为CD⊥AB
所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$
所以$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}×2}{3}=\frac{2\sqrt{5}}{3}$
所以$cos∠ACD=\frac{CD}{AC}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{3}}{\sqrt{5}}=\frac{2}{3}$
所以$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+2^2}=3$
因为CD⊥AB
所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$
所以$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}×2}{3}=\frac{2\sqrt{5}}{3}$
所以$cos∠ACD=\frac{CD}{AC}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{3}}{\sqrt{5}}=\frac{2}{3}$
8. 如图是一配电房的示意图，它是一个轴对称图形，已知 $BC = 6\ \mathrm{m}$，$\angle ABC = \alpha$，则房顶 $A$ 离地面 $EF$ 的高度为 (
A.$(4 + 3 \sin \alpha)\ \mathrm{m}$
B.$(4 + 3 \tan \alpha)\ \mathrm{m}$
C.$\left(4 + \frac{3}{\sin \alpha}\right)\ \mathrm{m}$
D.$\left(4 + \frac{3}{\tan \alpha}\right)\ \mathrm{m}$
B
)A.$(4 + 3 \sin \alpha)\ \mathrm{m}$
B.$(4 + 3 \tan \alpha)\ \mathrm{m}$
C.$\left(4 + \frac{3}{\sin \alpha}\right)\ \mathrm{m}$
D.$\left(4 + \frac{3}{\tan \alpha}\right)\ \mathrm{m}$
答案：B
9. 如图，$AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$C$ 为 $BA$ 延长线上的一点，$CD$ 是 $\odot O$ 的切线，$D$ 为切点，$OF ⊥ AD$，垂足为 $E$，交 $CD$ 于点 $F$.
(1) 求证：$\angle ADC = \angle AOF$.
(2) 若 $\sin C = \frac{1}{3}$，$BD = 8$，求 $EF$ 的长.
(1) 求证：$\angle ADC = \angle AOF$.
(2) 若 $\sin C = \frac{1}{3}$，$BD = 8$，求 $EF$ 的长.
答案：证明： (1)连结OD
因为CD是圆O的切线
所以CD⊥OD
所以∠CDO=∠ADC +∠ADO = 90°
因为OA=OD，
所以∠ADO =∠DAO
因为OF⊥AD于点E
所以∠DAO+∠AOF = 90°
所以∠ADC=∠AOF
(2)设圆O的半径为r
则OA=OB=OD=r
因为CD⊥OD
所以$sinC=\frac {OD}{OC}=\frac {1}{3}$
所以OC= 3OD= 3r
所以BC=OC+OB=3r+r=4r
因为AB是圆O的直径，
所以∠ADB=90°
又因为OF⊥AD于点E
所以OE//BD ，OA= OB
因为OE是△ABD的中位线
所以$OE=\frac {1}{2}BD$
因为BD= 8
所以OE=4
又因为OF//BD
所以△BCD∽△OCF
所以$\frac {OF}{BD}=\frac {OC}{BC}$
即$\frac {OF}{8}=\frac {3x}{4x}$
所以OF=6
所以EF= OF- OE=6-4=2
因为CD是圆O的切线
所以CD⊥OD
所以∠CDO=∠ADC +∠ADO = 90°
因为OA=OD，
所以∠ADO =∠DAO
因为OF⊥AD于点E
所以∠DAO+∠AOF = 90°
所以∠ADC=∠AOF
(2)设圆O的半径为r
则OA=OB=OD=r
因为CD⊥OD
所以$sinC=\frac {OD}{OC}=\frac {1}{3}$
所以OC= 3OD= 3r
所以BC=OC+OB=3r+r=4r
因为AB是圆O的直径，
所以∠ADB=90°
又因为OF⊥AD于点E
所以OE//BD ，OA= OB
因为OE是△ABD的中位线
所以$OE=\frac {1}{2}BD$
因为BD= 8
所以OE=4
又因为OF//BD
所以△BCD∽△OCF
所以$\frac {OF}{BD}=\frac {OC}{BC}$
即$\frac {OF}{8}=\frac {3x}{4x}$
所以OF=6
所以EF= OF- OE=6-4=2