2. 如图，在$ □ ABCD $中，$ DE ⊥ AB $，垂足为$ E $，$ AB : BC = 6 : 5 $，$ □ ABCD $的周长为$ 110 $，面积为$ 600 $. 求$ \cos \angle EDA $的值.
答案：解：∵AB∶BC=6∶5，▱ABCD的周长为110
∴$AB=110÷2×\frac {6}{6+5}=30，$$BC=110÷2×\frac 5{6+5}=25$
∵$S_{▱ABCD}=AB×DE=600$
∴DE=20
在Rt△ADE中，∵AD=BC=25，DE=20
∴$cos∠EDA=\frac {DE}{AD}=\frac{4}5$
∴$AB=110÷2×\frac {6}{6+5}=30，$$BC=110÷2×\frac 5{6+5}=25$
∵$S_{▱ABCD}=AB×DE=600$
∴DE=20
在Rt△ADE中，∵AD=BC=25，DE=20
∴$cos∠EDA=\frac {DE}{AD}=\frac{4}5$
3. 已知$ \triangle ABC $的三边$ a、b、c $满足$ a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc $. 试判断$ \triangle ABC $的形状.
答案：解：∵$a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$
∴$2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc，$即$(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0$
∴a-b=0，b-c=0，a-c=0，即a=b=c
∴△ABC为等边三角形
∴$2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc，$即$(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0$
∴a-b=0，b-c=0，a-c=0，即a=b=c
∴△ABC为等边三角形
4. 如图，圆柱形容器的高为$ 1.2 $m，底面周长为$ 1 $m，在容器内壁离容器底部$ 0.3 $m的点$ B $处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁离容器上沿$ 0.3 $m且与蚊子相对的点$ A $处. 壁虎捕捉蚊子的最短路线长为
1.3
m. (容器厚度忽略不计)答案：1.3
5. 在四边形$ ABCD $中，$ \angle ABC = 60^{\circ} $，$ AC $平分$ \angle BAD $，$ AC = 7 $，$ AD = 6 $，$ S_{\triangle ADC} = \dfrac{15}{2} \sqrt{3} $. 求$ BC $和$ AB $的长.
答案：
解：过点C作CE⊥AD，垂足为点E，
作CF⊥AB，垂足为点F
∵AD=6，$S_{△ABC}=\frac 12×AD×CE=\frac {15\sqrt 3}2$
∴$CE=\frac {5\sqrt 3}2$
∵AC平分∠BAD
∴$CF=CE=\frac {5\sqrt 3}2$
在Rt△BCF 中，∵$CF=\frac {5\sqrt 3}2，$∠ABC=60°
∴$BF=\frac {CF}{\sqrt 3}=\frac 52，$BC=2BF=5
在Rt△ACF 中，∵$CF=\frac {5\sqrt 3}2，$AC=7
∴$AF=\sqrt {AC^2-CF^2}=\frac {11}{2}$
∴$AB=AF+BF=\frac {11}{2}+\frac {5}{2}=8$
综上所述，BC=5，AB=8
解：过点C作CE⊥AD，垂足为点E，
作CF⊥AB，垂足为点F
∵AD=6，$S_{△ABC}=\frac 12×AD×CE=\frac {15\sqrt 3}2$
∴$CE=\frac {5\sqrt 3}2$
∵AC平分∠BAD
∴$CF=CE=\frac {5\sqrt 3}2$
在Rt△BCF 中，∵$CF=\frac {5\sqrt 3}2，$∠ABC=60°
∴$BF=\frac {CF}{\sqrt 3}=\frac 52，$BC=2BF=5
在Rt△ACF 中，∵$CF=\frac {5\sqrt 3}2，$AC=7
∴$AF=\sqrt {AC^2-CF^2}=\frac {11}{2}$
∴$AB=AF+BF=\frac {11}{2}+\frac {5}{2}=8$
综上所述，BC=5，AB=8
6. 如图①、②、③中，$ E、D $分别是正三角形$ ABC $、正四边形$ ABCM $、正五边形$ ABCMN $中$ \angle C $的两边上的点，且$ BE = CD $，$ DB $与$ AE $相交于点$ P $.
(1) 求图①中$ \angle APD $的度数.
(2) 图②中，$ \angle APD $的度数为
(3) 根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正$ n $边形情况？若能，写出问题和结论；若不能，请说明理由.
(1) 求图①中$ \angle APD $的度数.
(2) 图②中，$ \angle APD $的度数为
90°
，图③中，$ \angle APD $的度数为108°
.(3) 根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正$ n $边形情况？若能，写出问题和结论；若不能，请说明理由.
答案：90°
108°
解：(1)∵△ABC为正三角形
∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°
在△ABE和△BCD中
$\begin{cases}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCD}\\{BE=CD}\end{cases}$
∴$△ABE≌△BCD(\mathrm {SAS})$
∴∠BAE=∠CBD
∴∠APD=∠BAE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=∠ABC=60°
(3)能，问题：点E、D分别在正n边形中以点C为顶点的相邻两边上
且BF=CD，DB与AE相交于点P，求∠APD的度数
结论：∠APD的度数为$\frac {(n-2) · 180°}{n}$
108°
解：(1)∵△ABC为正三角形
∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°
在△ABE和△BCD中
$\begin{cases}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCD}\\{BE=CD}\end{cases}$
∴$△ABE≌△BCD(\mathrm {SAS})$
∴∠BAE=∠CBD
∴∠APD=∠BAE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=∠ABC=60°
(3)能，问题：点E、D分别在正n边形中以点C为顶点的相邻两边上
且BF=CD，DB与AE相交于点P，求∠APD的度数
结论：∠APD的度数为$\frac {(n-2) · 180°}{n}$