例 1 如图，某船以 $ 36 \mathrm{ n mile/h} $ 的速度向正东方向航行，在点 $ A $ 处测得某岛 $ C $ 在北偏东 $ 60^{\circ} $ 方向，航行半小时后到达点 $ B $，测得该岛在北偏东 $ 30^{\circ} $ 方向，已知该岛周围 $ 16 \mathrm{ n mile} $ 内有暗礁.
(1) 点 $ B $ 是否在暗礁区域外？请说明理由.
(2) 若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由.
(1) 点 $ B $ 是否在暗礁区域外？请说明理由.
(2) 若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由.
答案：
分析：第(1)题判断点 $ B $ 是否在暗礁区域外，就是要判断 $ BC $ 是否大于 $ 16 \mathrm{ n mile} $. 若大于则在暗礁区域外，反之则不在. 本题可通过构造直角三角形来求 $ BC $ 的长，作 $ CD ⊥ AB $，垂足为 $ D $，$ CD $ 是 $ \mathrm{Rt} \triangle ACD $ 和 $ \mathrm{Rt} \triangle BCD $ 的公共直角边，可先求出 $ CD $，再求 $ BC $ 的长.
第(2)题实际上是要判断点 $ C $ 到 $ AB $ 的距离，即 $ CD $ 是否大于 $ 16 \mathrm{ n mile} $. 若大于则无触礁危险，反之则有.
解：方法一：(1) 作 $ CD ⊥ AB $，垂足为 $ D $，设 $ BC $ 为 $ x \mathrm{ n mile} $.
在 $ \mathrm{Rt} \triangle BCD $ 中，$ \angle CBD = 60^{\circ} $，
$ \therefore BD = \frac{1}{2}x $，$ CD = \frac{\sqrt{3}}{2}x $.
在 $ \mathrm{Rt} \triangle ACD $ 中，$ \angle CAD = 30^{\circ} $，$ \tan \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{\sqrt{3}}{3} $，
$ \therefore \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{18 + \frac{1}{2}x} = \frac{\sqrt{3}}{3} $，$ x = 18 $.
$ \therefore $ 点 $ B $ 在暗礁区域外.
方法二：$ \because \angle EAC = 60^{\circ} $，$ \therefore \angle CAB = 30^{\circ} $.
同理 $ \angle CBD = 60^{\circ} $.
又 $ \because \angle CBD = \angle CAB + \angle ACB $，
$ \therefore \angle ACB = 30^{\circ} $，$ \angle CAB = \angle ACB $，即 $ AB = BC = 18 $.
$ \therefore $ 点 $ B $ 在暗礁区域外.
(2) $ \because CD = \frac{\sqrt{3}}{2}x = 9\sqrt{3} ＜ 16 $，
$ \therefore $ 继续向东航行船有触礁的危险.
分析：第(1)题判断点 $ B $ 是否在暗礁区域外，就是要判断 $ BC $ 是否大于 $ 16 \mathrm{ n mile} $. 若大于则在暗礁区域外，反之则不在. 本题可通过构造直角三角形来求 $ BC $ 的长，作 $ CD ⊥ AB $，垂足为 $ D $，$ CD $ 是 $ \mathrm{Rt} \triangle ACD $ 和 $ \mathrm{Rt} \triangle BCD $ 的公共直角边，可先求出 $ CD $，再求 $ BC $ 的长.
第(2)题实际上是要判断点 $ C $ 到 $ AB $ 的距离，即 $ CD $ 是否大于 $ 16 \mathrm{ n mile} $. 若大于则无触礁危险，反之则有.
解：方法一：(1) 作 $ CD ⊥ AB $，垂足为 $ D $，设 $ BC $ 为 $ x \mathrm{ n mile} $.
在 $ \mathrm{Rt} \triangle BCD $ 中，$ \angle CBD = 60^{\circ} $，
$ \therefore BD = \frac{1}{2}x $，$ CD = \frac{\sqrt{3}}{2}x $.
在 $ \mathrm{Rt} \triangle ACD $ 中，$ \angle CAD = 30^{\circ} $，$ \tan \angle CAD = \frac{CD}{AD} = \frac{\sqrt{3}}{3} $，
$ \therefore \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{18 + \frac{1}{2}x} = \frac{\sqrt{3}}{3} $，$ x = 18 $.
$ \therefore $ 点 $ B $ 在暗礁区域外.
方法二：$ \because \angle EAC = 60^{\circ} $，$ \therefore \angle CAB = 30^{\circ} $.
同理 $ \angle CBD = 60^{\circ} $.
又 $ \because \angle CBD = \angle CAB + \angle ACB $，
$ \therefore \angle ACB = 30^{\circ} $，$ \angle CAB = \angle ACB $，即 $ AB = BC = 18 $.
$ \therefore $ 点 $ B $ 在暗礁区域外.
(2) $ \because CD = \frac{\sqrt{3}}{2}x = 9\sqrt{3} ＜ 16 $，
$ \therefore $ 继续向东航行船有触礁的危险.