例1 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm.动点M、N从点C同时出发，均以1 cm/s的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向终点A移动，连接PM、PN，设移动时间为t s(0＜t＜2.5).
(1) t为何值时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似?
(2) 是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S获得最小值?若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由.
(1) t为何值时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似?
(2) 是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S获得最小值?若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由.
答案：分析：根据勾股定理，求得$AB=5 cm.$第$(1)$小题分$△AMP∽△ABC$和$△APM∽△ABC$两种情况讨论，利用相似三角形的对应边成比例求$t$的值；第$(2)$小题用含$t$的代数式表示$△BNP$的边$BN$上的高，然后根据$“S=S_{△ABC} - S_{△BNP}”$求出$S$与$t$的函数表达式，再根据二次函数表达式，对$S$是否存在最小值进行判断$.$
解：在$△ABC$中，$∠C=90°，$$AC=4 cm，$$BC=3 cm，$
∴$ AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=5 cm.$
$(1) $以$A、$$P、$$M$为顶点的三角形与$△ABC$相似，分两种情况：
$① $当$△AMP∽△ABC$时，可得$\frac{AP}{AC}=\frac{AM}{AB}，$即$\frac{5 - 2t}{4}=\frac{4 - t}{5}.$
解得$t=\frac{3}{2}.$
$② $当$△APM∽△ABC$时，可得$\frac{AM}{AC}=\frac{AP}{AB}，$即$\frac{4 - t}{4}=\frac{5 - 2t}{5}.$
解得$t=0($不合题意，舍去$).$
∴$ $当$t=\frac{3}{2}$时，以$A、$$P、$$M$为顶点的三角形与$△ABC$相似$.$
$(2) $作$PH⊥BC，$垂足为$H，$则$PH//AC.$
∴$ \frac{PH}{AC}=\frac{BP}{BA}，$即$\frac{PH}{4}=\frac{2t}{5}，$$PH=\frac{8t}{5}.$
∴$ S = S_{△ABC} - S_{△BNP}$
$=\frac{1}{2}×3×4 - \frac{1}{2}(3 - t)·\frac{8t}{5}$
$=\frac{4}{5}t^{2}-\frac{12}{5}t + 6$
$=\frac{4}{5}(t - \frac{3}{2})^{2}+\frac{21}{5}(0＜t＜2.5).$
∵$ S$是$t$的二次函数，且$\frac{4}{5}＞0，$
∴$ S$有最小值$.$当$t=\frac{3}{2}$时，$S_{最小值}=\frac{21}{5}.$
想一想：在本例的条件下，四边形$CMPN$的面积有最小值或最大值吗$?$
解：在$△ABC$中，$∠C=90°，$$AC=4 cm，$$BC=3 cm，$
∴$ AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=5 cm.$
$(1) $以$A、$$P、$$M$为顶点的三角形与$△ABC$相似，分两种情况：
$① $当$△AMP∽△ABC$时，可得$\frac{AP}{AC}=\frac{AM}{AB}，$即$\frac{5 - 2t}{4}=\frac{4 - t}{5}.$
解得$t=\frac{3}{2}.$
$② $当$△APM∽△ABC$时，可得$\frac{AM}{AC}=\frac{AP}{AB}，$即$\frac{4 - t}{4}=\frac{5 - 2t}{5}.$
解得$t=0($不合题意，舍去$).$
∴$ $当$t=\frac{3}{2}$时，以$A、$$P、$$M$为顶点的三角形与$△ABC$相似$.$
$(2) $作$PH⊥BC，$垂足为$H，$则$PH//AC.$
∴$ \frac{PH}{AC}=\frac{BP}{BA}，$即$\frac{PH}{4}=\frac{2t}{5}，$$PH=\frac{8t}{5}.$
∴$ S = S_{△ABC} - S_{△BNP}$
$=\frac{1}{2}×3×4 - \frac{1}{2}(3 - t)·\frac{8t}{5}$
$=\frac{4}{5}t^{2}-\frac{12}{5}t + 6$
$=\frac{4}{5}(t - \frac{3}{2})^{2}+\frac{21}{5}(0＜t＜2.5).$
∵$ S$是$t$的二次函数，且$\frac{4}{5}＞0，$
∴$ S$有最小值$.$当$t=\frac{3}{2}$时，$S_{最小值}=\frac{21}{5}.$
想一想：在本例的条件下，四边形$CMPN$的面积有最小值或最大值吗$?$