4. 阅读下面的材料，然后解答问题：
在一直线上依次排列 $ n(n ＞ 1) $ 台机床，现要设置零件供应站 $ P $，使这 $ n $ 台机床到供应站 $ P $ 的距离总和最小. 要解决这个问题，先思考比较简单的情形：
如图①，如果直线上有 $ 2 $ 台机床，显然点 $ P $ 设在线段 $ A_1A_2 $ 上的任何位置都可，因为甲、乙到点 $ P $ 距离之和等于线段 $ A_1A_2 $. 如图②，如果直线上有 $ 3 $ 台机床，不难判断，点 $ P $ 设在点 $ A_2 $ 处最合适，因为这时甲、乙、丙到点 $ P $ 距离之和仍是线段 $ A_1A_3 $，而如果把点 $ P $ 放到别处，例如点 $ D $ 处，那么甲、丙到点 $ P $ 距离之和是线段 $ A_1A_3 $，但乙到点 $ P $ 还有 $ A_2D $ 这一段，所以点 $ P $ 放在 $ A_2 $ 处最佳.
不难知道，如果直线上有 $ 4 $ 台机床，点 $ P $ 应设在线段 $ A_2A_3 $ 上的任何地方；如果直线上有 $ 5 $ 台机床，点 $ P $ 应设在点 $ A_3 $ 处的位置.
(1) 有 $ n $ 台机床时，点 $ P $ 应设置在何处？
(2) 利用问题(1)的结论，求 $ |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + ··· + |x - 617| $ 的最小值.
在一直线上依次排列 $ n(n ＞ 1) $ 台机床，现要设置零件供应站 $ P $，使这 $ n $ 台机床到供应站 $ P $ 的距离总和最小. 要解决这个问题，先思考比较简单的情形：
如图①，如果直线上有 $ 2 $ 台机床，显然点 $ P $ 设在线段 $ A_1A_2 $ 上的任何位置都可，因为甲、乙到点 $ P $ 距离之和等于线段 $ A_1A_2 $. 如图②，如果直线上有 $ 3 $ 台机床，不难判断，点 $ P $ 设在点 $ A_2 $ 处最合适，因为这时甲、乙、丙到点 $ P $ 距离之和仍是线段 $ A_1A_3 $，而如果把点 $ P $ 放到别处，例如点 $ D $ 处，那么甲、丙到点 $ P $ 距离之和是线段 $ A_1A_3 $，但乙到点 $ P $ 还有 $ A_2D $ 这一段，所以点 $ P $ 放在 $ A_2 $ 处最佳.
不难知道，如果直线上有 $ 4 $ 台机床，点 $ P $ 应设在线段 $ A_2A_3 $ 上的任何地方；如果直线上有 $ 5 $ 台机床，点 $ P $ 应设在点 $ A_3 $ 处的位置.
(1) 有 $ n $ 台机床时，点 $ P $ 应设置在何处？
(2) 利用问题(1)的结论，求 $ |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + ··· + |x - 617| $ 的最小值.
答案：4．（1）当$n$为偶数时，$P$应设在第$\frac{n}{2}$台和$(\frac{n}{2}+1)$台之间，即线段$P_{\frac{n}{2}}P_{\frac{n}{2}+1}$的任何地方，当$n$为奇数时，$P$应设在第$P_{\frac{n + 1}{2}}$台的位置 （2）根据绝对值的几何意义，求$|x - 1|+|x - 2|+|x - 3|+···+|x - 617|$的最小值就是在数轴上找出表示$x$的点，使它到表示数 1、2、$···$、617 的各点的距离之和最小.根据问题(1)的结论，当$x = 309$时，原式的值最小，最小值是:$|309 - 1|+|309 - 2|+|309 - 3|+···+|309 - 308|+0+|309 - 310|+|309 - 311|+···+|309 - 311|+|309 - 616|+|309 - 617|=308 + 307 + 306+···+1 + 0 + 1 + 2+···+308=308×309=95172$
解析：
（1）当$n$为偶数时，点$P$应设置在第$\frac{n}{2}$台与第$\frac{n}{2}+1$台机床之间的线段上；当$n$为奇数时，点$P$应设置在第$\frac{n+1}{2}$台机床的位置。
（2）根据绝对值的几何意义，原式表示数轴上点$x$到点$1,2,···,617$的距离之和。由（1）结论，$n=617$（奇数），当$x=\frac{617+1}{2}=309$时，距离之和最小。
最小值为：$|309 - 1| + |309 - 2| + ··· + |309 - 308| + 0 + |309 - 310| + ··· + |309 - 617|$
$=(308 + 307 + ··· + 1) + (1 + 2 + ··· + 308)$
$=2×\frac{308×(308 + 1)}{2}$
$=308×309 = 95172$
答案：（1）当$n$为偶数时，点$P$在第$\frac{n}{2}$台与第$\frac{n}{2}+1$台机床之间的线段上；当$n$为奇数时，点$P$在第$\frac{n+1}{2}$台机床处。（2）$95172$
（2）根据绝对值的几何意义，原式表示数轴上点$x$到点$1,2,···,617$的距离之和。由（1）结论，$n=617$（奇数），当$x=\frac{617+1}{2}=309$时，距离之和最小。
最小值为：$|309 - 1| + |309 - 2| + ··· + |309 - 308| + 0 + |309 - 310| + ··· + |309 - 617|$
$=(308 + 307 + ··· + 1) + (1 + 2 + ··· + 308)$
$=2×\frac{308×(308 + 1)}{2}$
$=308×309 = 95172$
答案：（1）当$n$为偶数时，点$P$在第$\frac{n}{2}$台与第$\frac{n}{2}+1$台机床之间的线段上；当$n$为奇数时，点$P$在第$\frac{n+1}{2}$台机床处。（2）$95172$