3. 如图，在矩形 ABCD 中，$ AB = 6 $，$ BC = 8 $，点 E、F、G、H 分别在边 AB、BC、CD、AD 上，且 $ AE = AH = CF = CG $，设 AE 的长为 x，四边形 EFGH 的面积为 S.
(1) 求 S 与 x 之间的函数表达式.
(2) 当 x 为何值时，S 的值最大? 求出最大值.
(1) 求 S 与 x 之间的函数表达式.
(2) 当 x 为何值时，S 的值最大? 求出最大值.
答案：解：(1)由题意可知△AEH≌△CFG，△DHG≌△BFE
∵AE=AH=x
∴DH=8-x，BE=6-x
∴$S=6×8-\frac 12×x^2×2-\frac 12×(8-x)×(6-x)×2=-2x^2+14x$
$(2)S=-2(x^2-7x)=-2(x-\frac 72)^2+\frac {49}{2}$
∴当$x=\frac 72$时，S的值最大，为$\frac {49}{2}$
∵AE=AH=x
∴DH=8-x，BE=6-x
∴$S=6×8-\frac 12×x^2×2-\frac 12×(8-x)×(6-x)×2=-2x^2+14x$
$(2)S=-2(x^2-7x)=-2(x-\frac 72)^2+\frac {49}{2}$
∴当$x=\frac 72$时，S的值最大，为$\frac {49}{2}$
4. 如图，某公路隧道横截面的底 OM 为 12 m，拱呈抛物线形，其顶点 P 离地面 6 m. 现以点 O 为原点，OM 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系.
(1) 直接写出点 M、P 的坐标；
(2) 求这条抛物线相应的函数表达式；
(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”$ AD - DC - CB $，使点 C、D 在抛物线上，点 A、B 在地面 OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
(1) 直接写出点 M、P 的坐标；
(2) 求这条抛物线相应的函数表达式；
(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”$ AD - DC - CB $，使点 C、D 在抛物线上，点 A、B 在地面 OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
答案：解：(1)M(12，0)，P(6，6)
(2)设二次函数表达式为$y=a(x-6)^2+6$
∵函数$y=a(x-6)^2+6$的图像经过点(0，0)
∴$0=a(0-6)^2+6，$即$a=- \frac {1}{6}$
∴抛物线相应的函数表达式为$y=-\frac {1}{6} (x-6)^2+6，$
即$y=-\frac 16x^2+2x $
(3)设A(m，0)，则B(12-m，0)，C(12-m，$- \frac {1}{6}\ \mathrm {m^2}+2\ \mathrm {m})，$
D(m，$- \frac {1}{6}\ \mathrm {m^2} +2\ \mathrm {m})$
∴“支撑架”总长$AD+DC+CB= (- \frac {1}{6}\ \mathrm {m^2}+2m)+(12-2m) +(- \frac {1}{6}\ \mathrm {m^2}+2m )$
$ =- \frac {1}{3}\ \mathrm {m^2}+2m+12=- \frac {1}{3} (m-3)^2+15$
∵此二次函数的图像开口向下
∴当$m=3\ \mathrm {m} $时，AD+DC+CB有最大值为$15\ \mathrm {m}$
(2)设二次函数表达式为$y=a(x-6)^2+6$
∵函数$y=a(x-6)^2+6$的图像经过点(0，0)
∴$0=a(0-6)^2+6，$即$a=- \frac {1}{6}$
∴抛物线相应的函数表达式为$y=-\frac {1}{6} (x-6)^2+6，$
即$y=-\frac 16x^2+2x $
(3)设A(m，0)，则B(12-m，0)，C(12-m，$- \frac {1}{6}\ \mathrm {m^2}+2\ \mathrm {m})，$
D(m，$- \frac {1}{6}\ \mathrm {m^2} +2\ \mathrm {m})$
∴“支撑架”总长$AD+DC+CB= (- \frac {1}{6}\ \mathrm {m^2}+2m)+(12-2m) +(- \frac {1}{6}\ \mathrm {m^2}+2m )$
$ =- \frac {1}{3}\ \mathrm {m^2}+2m+12=- \frac {1}{3} (m-3)^2+15$
∵此二次函数的图像开口向下
∴当$m=3\ \mathrm {m} $时，AD+DC+CB有最大值为$15\ \mathrm {m}$
5. 某网店打出促销广告：现有新款服装 30 件，每件售价 300 元. 若一次性购买超过 10 件时，每多买 1 件，所买的每件服装的售价均降低 3 元. 已知该服装成本是每件 200 元，设顾客一次性购买服装 x 件时，该网店从中获利 y 元.
(1) 求 $ y(元) $ 与 $ x(件) $ 之间的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围；
(2) 顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多?
(1) 求 $ y(元) $ 与 $ x(件) $ 之间的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围；
(2) 顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多?
答案：
解：(1)当0＜x≤10时，y=(300-200)×x=100x
当10＜x≤30时，$y=[300-3(x-10)-200]×x=-3x^2+130x$
∴y与x之间的函数表达式为$y=\begin{cases}{100x(0＜x≤10，且x为整数)}\\{-3x^2+130x(10＜x≤30，且x为整数)}\end{cases}$
(2)在$0\lt x≤10$时，y=100x，当x=10时，y有最大值1000；
在$10\lt x≤30$时，$y=-3x^2+130x，$当$x=21 \frac {2}{3} $时，y取得最大值
∵x为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y有最大值1408
∵$1408\gt 1000$
∴顾客一次购买22件时，该网店从中获利最多
解：(1)当0＜x≤10时，y=(300-200)×x=100x
当10＜x≤30时，$y=[300-3(x-10)-200]×x=-3x^2+130x$
∴y与x之间的函数表达式为$y=\begin{cases}{100x(0＜x≤10，且x为整数)}\\{-3x^2+130x(10＜x≤30，且x为整数)}\end{cases}$
(2)在$0\lt x≤10$时，y=100x，当x=10时，y有最大值1000；
在$10\lt x≤30$时，$y=-3x^2+130x，$当$x=21 \frac {2}{3} $时，y取得最大值
∵x为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y有最大值1408
∵$1408\gt 1000$
∴顾客一次购买22件时，该网店从中获利最多