6. 若函数 $ y = kx^2 + 2x - 1 $ 的图像与 $ x $ 轴仅有一个公共点，则常数 $ k $ 的值为
$k = 0$或$k=-1$
.答案：k=0或k=-1
7. 如图是二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图像的一部分，给出下列命题：① $ a + b + c = 0 $；② $ b ＞ 2a $；③ $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两根分别为 $ -3 $ 和 $ 1 $；④ $ a - 2b + c ＞ 0 $. 其中，正确的命题是
①③
.(填序号)答案：①③
8. 已知二次函数 $ y = x^2 - 2mx + m^2 - 1 $.
(1)这个二次函数的图像经过原点，求这个二次函数的表达式.
(2)如图，当 $ m = 2 $ 时，这个二次函数的图像与 $ y $ 轴交于点 $ C $，顶点为 $ D $，求 $ C $、$ D $ 两点的坐标.
(3)在(2)的条件下，$ x $ 轴上是否存在一点 $ P $，使得 $ PC + PD $ 最短？若存在，求出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由.
(1)这个二次函数的图像经过原点，求这个二次函数的表达式.
(2)如图，当 $ m = 2 $ 时，这个二次函数的图像与 $ y $ 轴交于点 $ C $，顶点为 $ D $，求 $ C $、$ D $ 两点的坐标.
(3)在(2)的条件下，$ x $ 轴上是否存在一点 $ P $，使得 $ PC + PD $ 最短？若存在，求出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：解：(1)∵二次函数的图像经过坐标原点O(0，0)
∴$\ \mathrm {m^2}-1=0$
解得m=±1
∴二次函数的表达式为$y=x^2-2x$或$y=x^2+2x$
(2)∵m=2
∴$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$
∴抛物线的顶点为D(2，-1)
当x=0时，y=3
∴点C的坐标为(0，3)
(3) 当点P、C、D共线时，PC+PD最短，直线CD相应的函数表达式为y=-2x+3
当y=0时，$x=\frac {3}{2}$
∴点P 的坐标为$(\frac {3}{2}，$0)
∴$\ \mathrm {m^2}-1=0$
解得m=±1
∴二次函数的表达式为$y=x^2-2x$或$y=x^2+2x$
(2)∵m=2
∴$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$
∴抛物线的顶点为D(2，-1)
当x=0时，y=3
∴点C的坐标为(0，3)
(3) 当点P、C、D共线时，PC+PD最短，直线CD相应的函数表达式为y=-2x+3
当y=0时，$x=\frac {3}{2}$
∴点P 的坐标为$(\frac {3}{2}，$0)
9. 如图，已知二次函数 $ y = a_1x^2 + b_1x + c_1 $ 的图像 $ C_1 $ 和二次函数 $ y = a_2x^2 + b_2x + c_2 $ 的图像 $ C_2 $ 都经过原点，顶点分别为 $ A $、$ B $，与 $ x $ 轴的另一个交点分别为 $ M $、$ N $. 如果点 $ A $ 与点 $ B $、点 $ M $ 与点 $ N $ 都关于原点 $ O $ 成中心对称，那么抛物线 $ C_1 $ 和抛物线 $ C_2 $ 称为“姐妹抛物线”. 请你写出一对“姐妹抛物线”$ C_1 $ 和 $ C_2 $，使四边形 $ ANBM $ 恰好是矩形，你所写的一对抛物线相应的函数表达式是
$y=-\sqrt{3}x^2+2\sqrt{3}x$
和$y=\sqrt{3}x^2+2\sqrt{3}x$
.答案：$y=-\sqrt 3x^2+2\sqrt 3x$
$y=\sqrt 3x^2+2\sqrt 3x$
$y=\sqrt 3x^2+2\sqrt 3x$