1. 在$\triangle ABC$中，$AB = 4$，$BC = 5$，$CA = 6$.
(1) 如果$DE = 10$，那么当$EF =$
(2) 如果$DE = 10$，那么当$EF =$
(1) 如果$DE = 10$，那么当$EF =$
$\frac {25}{2}$
，$FD =$15
时，$\triangle DEF\backsim\triangle ABC$；(2) 如果$DE = 10$，那么当$EF =$
12
，$FD =$8
时，$\triangle FDE\backsim\triangle ABC$.答案：$\frac {25}{2}$
15
12
8
15
12
8
2. 在$\triangle ABC$中，$AB:BC:CA = 2:3:4$，在$\triangle DEF$中，$DE = 1$，$FD = 2$. 当$EF =$
1.5
时，$\triangle DEF\backsim\triangle ABC$.答案：1.5
3. 若三角形三边之比为$3:5:7$，与它相似的三角形的最长边为$21\mathrm{cm}$，则其余两边的和为
24 cm
.答案：24cm
4. $\triangle ABC$的三边长分别为$\sqrt{2}$、$\sqrt{10}$、$2$，$\triangle DEF$的两边长分别为$1$、$\sqrt{5}$，要使$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$，则$\triangle DEF$的第三边长可以是(
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
D
).A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
答案：D
5. 已知：如图，在四边形$ABCD$中，$AB = 3$，$BC = 12$，$CD = 8$，$AD = 4$，$BD = 6$.
求证：$BD$平分$\angle ABC$.
求证：$BD$平分$\angle ABC$.
答案：证明：∵AB=3，BC=12，CD=8，AD=4，BD=6
∴$\frac {AB}{BD}=\frac {AD}{CD}=\frac {BD}{BC}=\frac 12$
∴△ABD∽△DBC
∴∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC
∴$\frac {AB}{BD}=\frac {AD}{CD}=\frac {BD}{BC}=\frac 12$
∴△ABD∽△DBC
∴∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC
6. 小明想要制作两个相似的三角形框架. 已做好的一个框架的三边长分别为$4$、$5$、$6$，待做的另一个框架已确定了一边长为$2$，你认为他可以如何确定另两边的长？
答案：解：设另两边的长分别为x，y，有三种情况：
①另一个框架最短的边长为2
∵两个三角形框架相似
∴$\frac 24=\frac x{5}=\frac y{6}，$解得，x=2.5，y= 3
∴另两边长分别为2.5和3
②中间的边长为2
$\frac x{4}=\frac 25=\frac y{6}，$解得，x= 1.6，y= 2.4
∴另两边长分别为1.6和2.4
③最长的边长为2
$\frac x{4}=\frac y{5}=\frac 26，$解得，$x=\frac 43，$$y= \frac {5}{3}$
∴另两边长分别为$\frac 43$和$\frac 53$
综上所述，另两边的长可以为2.5和3、1.6和2.4、$\frac 43$和$\frac 53$
①另一个框架最短的边长为2
∵两个三角形框架相似
∴$\frac 24=\frac x{5}=\frac y{6}，$解得，x=2.5，y= 3
∴另两边长分别为2.5和3
②中间的边长为2
$\frac x{4}=\frac 25=\frac y{6}，$解得，x= 1.6，y= 2.4
∴另两边长分别为1.6和2.4
③最长的边长为2
$\frac x{4}=\frac y{5}=\frac 26，$解得，$x=\frac 43，$$y= \frac {5}{3}$
∴另两边长分别为$\frac 43$和$\frac 53$
综上所述，另两边的长可以为2.5和3、1.6和2.4、$\frac 43$和$\frac 53$