11. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $，$ a $、$ b $、$ c $ 分别表示 $ \angle A $、$ \angle B $、$ \angle C $ 的对边，$ \tan A = \frac{3}{4} $，$ c = 5\sqrt{13} $. 求 $ a $、$ b $.
答案：解：设a=3x
在Rt△ABC中，∵$tan A=\frac {a}b=\frac 34，$a=3x
∴b=4x
∴$c=\sqrt {a^2+b^2}=5x$
∵$c=5\sqrt {13}$
∴$5x=5\sqrt {13}$
解得$x=\sqrt {13}$
∴$a=3x=3\sqrt {13}，$$b=4x=4\sqrt {13}$
在Rt△ABC中，∵$tan A=\frac {a}b=\frac 34，$a=3x
∴b=4x
∴$c=\sqrt {a^2+b^2}=5x$
∵$c=5\sqrt {13}$
∴$5x=5\sqrt {13}$
解得$x=\sqrt {13}$
∴$a=3x=3\sqrt {13}，$$b=4x=4\sqrt {13}$
12. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle A = \alpha $，$ \angle B = \beta $，$ CD ⊥ AB $，垂足为 $ D $，且 $ CD = h $. 求 $ AB $ 的长.
答案：解：在Rt△ACD中，∵∠A=α，CD=h
∴$tan α=\frac {CD}{AD}$
∴$AD=\frac {CD}{tan α}=\frac {h}{tan α}$
同理可得$BD=\frac {CD}{tan β}=\frac {h}{tan β}$
∴$AB=AD+BD=\frac {h}{tan α}+\frac h{tan β}$
∴$tan α=\frac {CD}{AD}$
∴$AD=\frac {CD}{tan α}=\frac {h}{tan α}$
同理可得$BD=\frac {CD}{tan β}=\frac {h}{tan β}$
∴$AB=AD+BD=\frac {h}{tan α}+\frac h{tan β}$
13. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ CH $ 是边 $ AB $ 上的高，且 $ CH = \frac{3}{5}AB $. 求 $ \tan B $ 的值.
答案：
解：分两种情况
①当△ABC为锐角三角形时
在Rt△ACH中，∵AC=AB，$CH=\frac 35AB$
∴$AH=\sqrt {AC^2-CH^2}=\frac 45AB$
∴$BH=AB-AH=\frac 15AB$
在Rt△BCH中，∵$CH=\frac 35AB，$$BH=\frac 15AB$
∴$tan B=\frac {CH}{BH}=3$
②当△ABC为钝角三角形时
同理，$AH=\frac 45AB$
∴$BH=AB+AH=\frac 95AB$
在Rt△BCH中，∵$CH=\frac 35AB，$$BH=\frac 95AB$
∴$tan B=\frac {CH}{BH}=\frac 13$
综上所述，tan B的值为3或$\frac 13$
解：分两种情况
①当△ABC为锐角三角形时
在Rt△ACH中，∵AC=AB，$CH=\frac 35AB$
∴$AH=\sqrt {AC^2-CH^2}=\frac 45AB$
∴$BH=AB-AH=\frac 15AB$
在Rt△BCH中，∵$CH=\frac 35AB，$$BH=\frac 15AB$
∴$tan B=\frac {CH}{BH}=3$
②当△ABC为钝角三角形时
同理，$AH=\frac 45AB$
∴$BH=AB+AH=\frac 95AB$
在Rt△BCH中，∵$CH=\frac 35AB，$$BH=\frac 95AB$
∴$tan B=\frac {CH}{BH}=\frac 13$
综上所述，tan B的值为3或$\frac 13$