6. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中， $ AB = 5 $， $ BC = 13 $，边 $ BC $ 上的高 $ AD = 4 $. 求 $ CD $ 的长和 $ \sin C $.
答案：解：在Rt△ABD中，∵AB=5，AD=4
∴$BD=\sqrt {AB^2-AD^2}=3$
∵BC=13
∴CD=BC-BD=10
在Rt△ACD中，∵AD=4，CD=10
∴$AC=\sqrt {AD^2+CD^2}=2\sqrt {29}$
∴$sinC=\frac {AD}{AC}=\frac 4{2\sqrt {29}}=\frac {2\sqrt {29}}{29}$
∴$BD=\sqrt {AB^2-AD^2}=3$
∵BC=13
∴CD=BC-BD=10
在Rt△ACD中，∵AD=4，CD=10
∴$AC=\sqrt {AD^2+CD^2}=2\sqrt {29}$
∴$sinC=\frac {AD}{AC}=\frac 4{2\sqrt {29}}=\frac {2\sqrt {29}}{29}$
7. 在 $ \triangle ABC $ 中， $ \angle C = 90^{\circ} $， $ BC = 2 $， $ \sin A = \frac{1}{3} $，则 $ AB = $
6
.答案：6
8. 在 $ \triangle ABC $ 中， $ \angle C = 90^{\circ} $，若 $ \tan A = \frac{1}{2} $，则 $ \sin A = $
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
， $ \cos B = $$\frac{\sqrt{5}}{5}$
.答案：$\frac {\sqrt 3}2 $
$\frac {\sqrt 3}2 $
$\frac {\sqrt 3}2 $
9. 如图，在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABD $ 中， $ \angle ABD = 90^{\circ} $， $ BC ⊥ AD $，垂足为 $ C $. 给出下列四个结论：
① $ \sin \alpha = \sin D $；② $ \sin \beta = \sin A $；③ $ \sin D = \cos A $；④ $ \sin \alpha = \cos \beta $.
其中，正确结论的有(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
① $ \sin \alpha = \sin D $；② $ \sin \beta = \sin A $；③ $ \sin D = \cos A $；④ $ \sin \alpha = \cos \beta $.
其中，正确结论的有(
D
).A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案：D
10. 如图， $ AC $ 是电线杆 $ AB $ 的一根拉线，测得 $ BC = 6 \mathrm{ m} $， $ \angle ACB = 52^{\circ} $，则拉线 $ AC $ 的长为(
A.$ \frac{6}{\sin 52^{\circ}} \mathrm{ m} $
B.$ \frac{6}{\tan 52^{\circ}} \mathrm{ m} $
C.$ 6 \cos 52^{\circ} \mathrm{ m} $
D.$ \frac{6}{\cos 52^{\circ}} \mathrm{ m} $
D
).A.$ \frac{6}{\sin 52^{\circ}} \mathrm{ m} $
B.$ \frac{6}{\tan 52^{\circ}} \mathrm{ m} $
C.$ 6 \cos 52^{\circ} \mathrm{ m} $
D.$ \frac{6}{\cos 52^{\circ}} \mathrm{ m} $
答案：D
11. 如图，在菱形 $ ABCD $ 中， $ AE ⊥ BC $，垂足为 $ E $， $ EC = 1 $， $ \sin B = \frac{5}{13} $. 求菱形 $ ABCD $ 的周长和面积.
答案：解：$sinB=\frac {AE}{AB}=\frac {5}{13}$
不妨设AE=5x，AB=13x
在Rt△ABE中，∵AE=5x，AB=13x
∴$BE=\sqrt {AB^2-AE^2}=12x$
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=BE+EC
∵AB=13x，BE=12x，EC=1
∴13x=12x+1
∴x=1
∴AB=BC=13，AE=5
∴菱形ABCD的周长为4×13=52，面积为$13×5×\frac 12×2=65$
不妨设AE=5x，AB=13x
在Rt△ABE中，∵AE=5x，AB=13x
∴$BE=\sqrt {AB^2-AE^2}=12x$
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=BE+EC
∵AB=13x，BE=12x，EC=1
∴13x=12x+1
∴x=1
∴AB=BC=13，AE=5
∴菱形ABCD的周长为4×13=52，面积为$13×5×\frac 12×2=65$