13. 求满足下列条件的锐角 $\alpha$：
(1)$-\sqrt{3}\tan\alpha+\sqrt{3}=0$；
(2)$2\cos\alpha-\sqrt{2}=0$.
(1)$-\sqrt{3}\tan\alpha+\sqrt{3}=0$；
(2)$2\cos\alpha-\sqrt{2}=0$.
答案：解：$-\sqrt 3tan α=-\sqrt 3$
tan α=1
∴α=45°
解：$cosα=\frac {\sqrt 2}2$
∴α=45°
tan α=1
∴α=45°
解：$cosα=\frac {\sqrt 2}2$
∴α=45°
14. 如图，在等边三角形 $ABC$ 中，点 $D$、$E$ 分别在边 $AB$、$BC$ 上，$AD=BE$，$AE$ 与 $CD$ 相交于点 $F$，$AG⊥ CD$，垂足为 $G$. 求 $\frac{AG}{AF}$ 的值.
答案：解：∵△ABC为等边三角形
∴AC=AB，∠CAD=∠B=60°
在△ADC和△BEA中
$\begin{cases}{AC=AB}\\{∠CAD=∠B}\\{AD=BE}\end{cases}$
∴$△ADC≌△BEA(\mathrm {SAS})$
∴∠ACD=∠BAE
∵∠AFG=∠ACD+∠CAE=∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°
∴在Rt△AFG 中，$sin ∠AFG=\frac {AG}{AF}=\frac {\sqrt 3}2$
∴$\frac {AG}{AF} $的值为$\frac {\sqrt 3}2$
∴AC=AB，∠CAD=∠B=60°
在△ADC和△BEA中
$\begin{cases}{AC=AB}\\{∠CAD=∠B}\\{AD=BE}\end{cases}$
∴$△ADC≌△BEA(\mathrm {SAS})$
∴∠ACD=∠BAE
∵∠AFG=∠ACD+∠CAE=∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°
∴在Rt△AFG 中，$sin ∠AFG=\frac {AG}{AF}=\frac {\sqrt 3}2$
∴$\frac {AG}{AF} $的值为$\frac {\sqrt 3}2$
15. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B=30^{\circ}$，$P$ 是 $AB$ 上的一点，$\frac{BP}{PA}=\frac{1}{2}$，$PQ⊥ BC$，垂足为 $Q$，连接 $AQ$. 求 $\cos\angle AQC$ 的值.
答案：
解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D
设PQ=a
∵PQ=a，∠B=30°，PQ⊥BC
∴PB=2a，$BQ=\sqrt 3a$
∵$\frac {BP}{PA}=\frac 12$
∴PA=4a，AB=PA+PB=6a
在Rt△ABD中，∵∠B=30°
∴$AD=\frac 12AB=3a，$$BD=\sqrt 3AD=3\sqrt 3a$
∴$QD=BD-BQ=3\sqrt 3a-\sqrt 3a=2\sqrt 3a$
在Rt△AQD中，∵AD=3a，$QD=2\sqrt 3a$
∴$AQ=\sqrt {AD^2+QD^2}=\sqrt {21}a$
∴$cos∠AQC=\frac {QD}{AQ}=\frac {2\sqrt 3a}{\sqrt {21}a}=\frac {2\sqrt 7}7$
解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D
设PQ=a
∵PQ=a，∠B=30°，PQ⊥BC
∴PB=2a，$BQ=\sqrt 3a$
∵$\frac {BP}{PA}=\frac 12$
∴PA=4a，AB=PA+PB=6a
在Rt△ABD中，∵∠B=30°
∴$AD=\frac 12AB=3a，$$BD=\sqrt 3AD=3\sqrt 3a$
∴$QD=BD-BQ=3\sqrt 3a-\sqrt 3a=2\sqrt 3a$
在Rt△AQD中，∵AD=3a，$QD=2\sqrt 3a$
∴$AQ=\sqrt {AD^2+QD^2}=\sqrt {21}a$
∴$cos∠AQC=\frac {QD}{AQ}=\frac {2\sqrt 3a}{\sqrt {21}a}=\frac {2\sqrt 7}7$